Problemas de Inducción electromagnética

De Laplace

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	periodo <math>t>0</math>.		periodo <math>t>0</math>.
	# Halle la potencia instantánea disipada por efecto Joule en la espira, así como la energía total disipada en el periodo <math>t>0</math>.		# Halle la potencia instantánea disipada por efecto Joule en la espira, así como la energía total disipada en el periodo <math>t>0</math>.
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-	que pasa por la espira es de la forma	+
	<center><math>I_e = C \mathrm{e}^{-\lambda t} + D \mathrm{e}^{-Rt/L}\,</math></center>		<center><math>I_e = C \mathrm{e}^{-\lambda t} + D \mathrm{e}^{-Rt/L}\,</math></center>

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Revisión de 08:02 17 jun 2008

Contenido 1 Barra que se mueve en un campo uniforme 2 Espira cuadrada rotante en un campo B 3 Conductor que se desplaza sobre otro 4 Barra deslizante sobre raíles 5 Frenado de espira cuadrada 6 Espira doble rotante 7 Circuito en torno a un solenoide 8 Espira cuadrada en torno a solenoide 9 Espira circular en un campo variable 10 Inducción mutua de dos anillos 11 Generador de CA de dos anillos 12 Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos 13 Inducción mutua de dos solenoides cuadrados 14 Amperímetro de inducción 15 Barra que cae en un campo magnético 16 Solenoide que se mueve en el interior de otro

1 Barra que se mueve en un campo uniforme

Una barra metálica de longitud se mueve en el interior de un campo magnético uniforme () con velocidad constante , siendo perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo .

1. Calcule la fuerza magnética sobre una carga de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
2. La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
3. Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
4. Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

2 Espira cuadrada rotante en un campo B

Una espira cuadrada de lado , de hilo de cobre de sección gira con frecuencia en el interior de un campo magnético uniforme de módulo . El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

1. Determine la corriente que se induce en la espira.
2. Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

Solución

3 Conductor que se desplaza sobre otro

Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de un material de conductividad y sección . Uno de los conductores ("1") es fijo, mientras que el segundo ("2") puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores definen un rectángulo de base y altura , siendo x = 0, y = 0 la esquina del conductor fijo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que

Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme , perpendicular al plano de los conductores.

1. Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinducción.
2. Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil.

Solución

4 Barra deslizante sobre raíles

Se tienen dos raíles paralelos, perfectamente conductores, de longitud 2L separados una distancia a, tal como se indica en la figura. Los extremos de los raíles están conectados por sendas resistencias R₁ y R₂. Sobre ellos se desliza una barra también perfectamente conductora de longitud $b$. La barra se desplaza con velocidad constante . En el espacio entre los raíles hay aplicado un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles, .

1. Calcule la corriente que circula por la barra.
2. Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnético.
3. Halle la potencia disipada por efecto Joule.

Solución

5 Frenado de espira cuadrada

Una espira cuadrada de lado , hecha de un hilo de cobre de sección penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo . La espira se mueve inicialmente con velocidad tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En t = 0 la espira entra en el campo.

1. Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia y se está moviendo con velocidad .
2. Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
3. Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
4. Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

Solución

6 Espira doble rotante

Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado . La barra une dos lados opuestos y está situada a una distancia de uno de los lados. Tanto la barra como la espira

cuadrada están hechas de un alambre metálico de sección A y conductividad σ.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular ω, en el seno de un campo magnético uniforme , perpendicular a la barra. En t = 0 el plano de la espira es perpendicular al campo magnético.

1. Calcule la corriente que circula en cada alambre como función del tiempo.
2. Halle la energía disipada en un periodo de revolución. ¿En qué se va esta energía? ¿De donde procede?

Solución

7 Circuito en torno a un solenoide

Se tiene un solenoide largo de sección , por el cual circula una corriente variable en el tiempo K₀(t). Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos y , diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias y , tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

Solución

8 Espira cuadrada en torno a solenoide

Una espira cuadrada de lado b, de resistencia R y autoinducción despreciable rodea concéntricamente a un solenoide circular largo, de radio a, de longitud h () y N espiras. Por el solenoide circula una corriente constante I_b0, que a partir de t = 0 comienza a decaer exponencialmente como

1. Sabiendo que el campo magnético en el interior del solenoide es aproximadamente uniforme, calcule la corriente que circula por la espira cuadrada como función del tiempo.
2. Halle la carga que pasa por un punto de la espira durante todo el

periodo t > 0.

1. Halle la potencia instantánea disipada por efecto Joule en la espira, así como la energía total disipada en el periodo t > 0.
2. Suponga ahora la misma situación descrita anteriormente, pero considere que la espira posee una autoinducción no despreciable L y que inicialmente no circula corriente por ella. Para t > 0 la corriente que pasa por la espira es de la forma

Calcule las constantes C y D, así como la carga que pasa por un punto de la espira en el periodo $t>0$ y la energía total disipada en el mismo periodo.

9 Espira circular en un campo variable

Una espira circular de radio , con autoinducción y resistencia , se encuentra sometida a un campo magnético uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular al plano de la espira.

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnético varía en el tiempo, durante un largo intervalo, como

1. 
2. 
3. 

Solución

10 Inducción mutua de dos anillos

Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio y está situado en el plano XY. El otro, de radio , está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo con el eje . El radio es mucho mayor que .

1. Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente I₁.
2. Halle el coeficiente de inducción mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que es prácticamente un dipolo) a través del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una corriente I₂. ¿Son iguales los dos coeficientes?

Solución

11 Generador de CA de dos anillos

Suponga la misma configuración geométrica del problema anterior Por el anillo exterior se hace circular una corriente constante I₀. El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo θ varía con velocidad constante ω.

1. Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
2. Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución.

Solución

12 Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud y número de espiras N₁ y N₂, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).

1. Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
2. Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
3. Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
4. Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

Solución

13 Inducción mutua de dos solenoides cuadrados

Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es () y el número de vueltas es N₁ = N y N₂ = 2N, respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado a, tal como muestra la figura.

1. Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
2. Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso a = b / 3, halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

14 Amperímetro de inducción

Un amperímetro de inducción consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y autoinducción ), que se sitúa en torno a la corriente que se pretende medir.

1. Suponga un toroide de radio medio b y sección cuadrada pequeña de lado a (), con N espiras arrolladas sobre un núcleo de permeabilidad μ (en este problema, ello solo supone cambiar μ₀ por μ). Calcule el coeficiente de autoinducción de este solenoide, a partir del campo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente I. Suponga que dentro del solenoide es de la forma con B₀ uniforme.
2. El solenoide anterior se coloca concéntricamente con un hilo rectilíneo por el cual circula una corriente I₀cos(ωt). Calcule la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.
3. Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinducción), hállese la amplitud de la corriente que circula por el solenoide.
4. Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuánto vale la constante de proporcionalidad para un toroide de radio medio 2cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con un núcleo de permeabilidad ?

Solución

15 Barra que cae en un campo magnético

La figura representa un carril metálico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, también superconductora. Esta varilla está inmersa en un campo uniforme y cae por la acción de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se suelta. Determine la ecuación de movimiento y la posición de la varilla en función del tiempo si el circuito está cerrado por:

1. Una resistencia
2. Un condensador
3. Una autoinducción .

Estudie en cada caso el balance energético del sistema.

Solución

16 Solenoide que se mueve en el interior de otro

Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud , tienen radios y , mucho menores que su longitud ); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud , y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas , enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son para la bobina interior y para la exterior.

1. Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción L₁ y L₂, así como el de inducción mutua M y el de acoplamiento k.
2. La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa , mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad I₂(t) en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma I₂ = kt + c).
3. Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante v₀, de forma que s = v₀t. Calcule la tensión V₁(t) entre los extremos de esta bobina para t > 0.