Tercera Convocatoria Ordinaria 2012/13 (G.I.A.)

De Laplace

Contenido 1 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte 2 Par cinemático de disco encajado en carril 3 Campo de velocidades instantáneas de un sólido rígido 4 Partícula con trayectoria espiral 5 Movimiento de barra apoyada en planos no ortogonales

1 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte

Una partícula material de masa m, se encuentra sobre una rampa de longitud indefinida cuya inclinación respecto del plano horizontal es α. El contacto entre la partícula y la rampa es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ. Partiendo del reposo en el punto más bajo de la rampa, O, la partícula asciende por ella empujada por un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k.

1. Obtenga la expresión que determina a qué distancia del extremo O se detiene la partícula.
2. ¿A qué distancia su velocidad será máxima?

2 Par cinemático de disco encajado en carril

Determinar el par cinemático (reducción cinemática en O) que describe de forma general el movimiento permitido a un disco (sólido “2”) obligado a desplazarse encajado en un carril (sólido “1”) cuya anchura coincide con el diámetro del disco. ¿Cuál es el número de grados de libertad del sistema? Justifique sus respuestas.

3 Campo de velocidades instantáneas de un sólido rígido

Determine los valores de los parámetros λ, μ y ν para que los vectores

describan las velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido, cuyas posiciones están dadas por las ternas de coordenadas cartesianas, O(0,0,0), A(0,a,0) y B(0,0,b). Calcule también las componentes del correspondiente vector rotación instantánea.

4 Partícula con trayectoria espiral

Una partícula P de masa m se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria espiral Γ, cuya ecuación en coordenadas polares {r,θ} es:

de manera que r(t) es la distancia medida desde el origen O del sistema de referencia, a la posición P(t) que ocupa la partícula en un cierto instante, y θ(t) el ángulo (medido en radianes) que en dicho instante forma el radio vector con el eje OX. Además, el movimiento de la partícula es tal que su momento cinético respecto de O es un vector constante de módulo conocido, L₀.

1. Obtenga la expresión del vector velocidad instantánea de la partícula P como una función de la posición, dada por el ángulo θ. Se sugiere utilizar la base de las coordenadas polares, .
2. Obtenga la expresión del vector aceleración instantánea de la partícula en función de su posición, . ¿Qué propiedades tienen la dirección, el sentido y el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula?
3. Obtenga las componentes intrínsecas de la velocidad (módulo) y de la aceleración. Determine las direcciones tangente y normal a la trayectoria (en términos de las base de las coordenadas polares), así como el radio de curvatura de la trayectoria en cada punto.
4. Sabiendo que en el instante t = 0 la partícula se encuentra a una distancia r₀ del punto O, calcule su energía cinética inicial ¿Se conservará durante el movimiento? Obtenga la ley horaria θ(t) que describe cómo se mueve la partícula.

5 Movimiento de barra apoyada en planos no ortogonales

Una barra rígida (sólido “2”) de longitud L realiza un movimiento plano cuando sus extremos A y B deslizan, respectivamente, por un plano horizontal y otro inclinado (sólido “1”) que forman un ángulo π / 4.

1. Describa la reducción cinemática del movimiento {21} en términos del ángulo θ y de su derivada temporal , así como la posición del C.I.R.
2. Si el extremo A realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v₀, obtenga el vector rotación y su derivada temporal , en función de la posición de la barra.
3. En las condiciones del apartado anterior, obtenga la expresión de la velocidad y la aceleración del extremo B.