Materiales magnéticos

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Magnetización
- 2.1 Definición
- 2.2 Campo magnético debido a una magnetización
3 Corrientes de magnetización
4 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales
5 Campo magnético H
6 Materiales magnéticos
7 Circuitos magnéticos
8 Problemas

1 Introducción

Este tema constituye el segundo del bloque de Magnetostática. En el se estudian brevemente las propiedades de los campos magnéticos en presencia de medios materiales, las ecuaciones que describen dichos campos y los tipos de materiales, atendiendo a sus propiedades magnéticas.

El esquema que se sigue en este tema sigue una estrecha analogía con el tema de Campo eléctrico en presencia de dieléctricos.

2 Magnetización

2.1 Definición

Artículo completo: Magnetización

El campo magnético se ve afectado por la presencia de medios materiales, porque estos están constituidos por dipolos magnéticos, tanto orbitales como intrínsecos (el espín). Para describir esta distribución de dipolos en forma macroscópica se define la magnetización o imanación de un material en un punto como la densidad

$\mathbf{M}=\frac{1}{\Delta\tau}\sum_{\mathbf{m}_i\in\Delta\tau} \mathbf{m}_i$

siendo $Δτ$ un pequeño elemento de volumen en torno al punto $\mathbf{r}$ .

2.2 Campo magnético debido a una magnetización

Artículo completo: Campo magnético debido a una magnetización

El potencial vector magnético debido a una magnetización es una extensión de la expresión correspondiente a un solo dipolo

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{M}(\mathbf{r}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'$

Una vez que se tiene el potencial vector, puede hallarse el campo magnético

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$

También puede calcularse a partir de la superposición del campo de dipolos magnéticos

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{3(\mathbf{M}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}'))(\mathbf{r}-\mathbf{r}')-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2\mathbf{M}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^5}\mathrm{d}\tau'$

No obstante, la complejidad de estas integrales aconseja el uso de métodos alternativos de cálculo.

3 Corrientes de magnetización

Artículo completo: Corrientes de magnetización

La expresión del potencial vector puede transformarse en suma de potenciales vectores debidos a densidades de corriente

$\mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf{J}_m(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'+\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{K}_m(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}S'$

donde

$\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}\,$ $\mathbf{K}_m = \mathbf{n}\times[\mathbf{M}]$

son las llamadas densidades de corriente de magnetización, de volumen y de superficie, respectivamente. $\mathbf{K}_m$ existe en las interfaces entre dos materiales. En el caso particular de la frontera entre un medio magnetizado y el exterior, esta densidad se reduce a $\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}$ .

4 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales

Empleando las densidades de corriente de magnetización las ecuaciones para el campo magnético quedan como

$\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0$ $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{J}_l+\mathbf{J}_m)$

y las condiciones de salto en las interfaces

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0(\mathbf{K}_l+\mathbf{K}_m)$

siendo $\mathbf{J}_l$ y $\mathbf{K}_l$ las densidades de corriente libres, definidas como aquellas que no son de magnetización.

5 Campo magnético H

A menudo las densidades de corriente de magnetización son cantidades desconocidas a priori, por lo que interesa eliminarlas de las ecuaciones. Esto se consigue definiendo un campo auxiliar denominado campo magnético $\mathbf{H}$ (para evitar confusiones con $\mathbf{B}$ , conviene acompañar el nombre por el vector que lo representa). El campo $\mathbf{H}$ se define como

$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}$

o, equivalentemente, $\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$ . En términos de $\mathbf{H}$ y $\mathbf{B}$ las ecuaciones de la magnetostática se expresan

$\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0$ $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_l$

y las condiciones de salto

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{H}]=\mathbf{K}_l$

Estas ecuaciones no son completas, ya que deben suplementarse con una relación constitutiva que relacione $\mathbf{M}$ con $\mathbf{B}$ (o, como se expresa habitualmente $\mathbf{M}=\mathbf{M}(\mathbf{H})$ o $\mathbf{B}=\mathbf{B}(\mathbf{H})$ ).

Las ecuaciones de la magnetostática pueden escribirse en términos del campo $\mathbf{H}$ exclusivamente. Sustituyendo la definición de $\mathbf{H}$ en las ecuaciones para las fuentes escalares resulta

$\nabla{\cdot}\mathbf{H} = \rho_m$ $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_l$

con condiciones de salto

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{H}]=\sigma_m$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{H}]=\mathbf{K}_l$

donde $ρ m$ y $σ m$ son las llamadas densidades de carga magnética, definidas como

$\rho_m =-\nabla{\cdot}\mathbf{M}$ $\sigma_m =-\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{M}]$

Estas densidades de carga constituyen una descripción equivalente a la magnetización, alternativa a la de las corrientes de magnetización. Es en función de $ρ m$ y $σ m$ que se puede expresar el campo magnético en términos de polos norte (densidad de carga positiva) y sur (densidad negativa), y las fuerzas magnéticas a partir de la interacción entre ellos.

El campo $\mathbf{H}$ posee tanto fuentes escalares como vectoriales. Sin embargo, en problemas de materiales con magnetización permanente (imanes) las densidades de corrientes libres pueden anularse y el campo hacerse irrotacional, lo que permite establecer un paralelismo con el campo electrostático, con las cargas magnéticas ocupando el lugar de las eléctricas.

6 Materiales magnéticos

Las relaciones constitutivas que caracterizan los distintos materiales presentan una gran diversidad, a diferencia de lo que ocurre con los dieléctricos o con los medios conductores.

Entre los distintos tipos de materiales, los más importantes son los siguientes:

6.1 Medios lineales

Artículo completo: Material magnético lineal

Son aquellos en los que la magnetización es proporcional al campo magnético $\mathbf{H}$

$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}\,$

siendo $χ m$ la susceptibilidad magnética. Para los medios lineales, el campo magnético $\mathbf{B}$ es también proporcional al campo magnético $\mathbf{H}$

$\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}) = \mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H} = \mu_0\mu_r \mathbf{H} = \mu\mathbf{H}$

La cantidad $μ r = 1 + χ m$ es la denominada permeabilidad relativa del medio, mientras que $μ = μ 0 μ r$ es la permeabilidad absoluta.

Dependiendo del signo de $χ m$ , los materiales lineales se dividen en dos grupos: diamagnéticos y paramagnéticos.

6.1.1 Diamagnéticos

Artículo completo: Diamagnético

Poseen una susceptibilidad negativa. En estos materiales, el campo se ve reducido por efecto de la magnetización inducida, que se opone al campo externo. Para casi todos los diamagnéticos $|\chi_m|\ll 1$ y puede aproximarse $\mu\simeq \mu_0$ .

6.1.2 Paramagnéticos

Artículo completo: Paramagnético

Tienen una susceptibilidad positiva. En los materiales paramagnéticos la magnetización refuerza al campo externo. La mayoría de los medios paramagnéticos tienen una susceptibilidad muy pequeña y $\mu\simeq \mu_0$ . No obstante, existen sustancias paramagnéticas con muy alta susceptibilidad; estas sustancias, a bajas temperaturas se transforman en ferromagnéticas.

6.2 Ferromagnéticos

Artículo completo: Ferromagnético

Se caracterizan por ser capaces de presentar una magnetización remanente en ausencia de campo externo, pudiendo ser empleados como imanes permanentes. Cuando se les aplica un campo externo presentan lo que se denomina ciclo de histéresis. El estado, para un campo $H$ dado, depende del proceso previo. Cuando el campo aplicado es muy intenso, los materiales ferromagnéticos presentan saturación. Al reducir el campo a cero, persiste una magnetización remanente, $M r$ . Es necesario aplicar un campo opuesto (campo coercitivo, $H c$ ) para reducir la imanación a cero. Con un campo opuesto más intenso, vuelve a aparecer la saturación y el proceso puede repetirse en sentido opuesto. Los ferromagnéticos se dividen en blandos, cuando $H c$ es pequeño, y duros, si $H c$ es grande.

Para campos débiles, si $M r$ es nulo, los ferromagnéticos se comportan aproximadamente como paramagnéticos de alta permeabilidad.

El ciclo de histéresis desaparece cuando la temperatura del material excede la llamada temperatura de Curie, a partir de la cual son paramagnéticos.

6.3 Ferritas

También conocidos como ferrimagnéticos. Similares a los ferromagnéticos en su comportamiento frente a un campo magnético, con la diferencia de que su conductividad eléctrica es muy inferior, lo que reduce las pérdidas por efecto Joule. Suelen ser óxidos metálicos como la magnetita.

6.4 Superconductores

Artículo completo: Superconductor

Además de por una resistividad eléctrica nula, los materiales superconductores se caracterizan porque el campo magnético en su interior es siempre nulo (efecto Meissner). Se inducen corrientes en la superficie de los superconductores que provocan que $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ . Alternativamente, puede decirse que un superconductor es un diamagnético perfecto ( $χ m = - 1$ , $μ = 0$ ).

7 Circuitos magnéticos

Los materiales ferro- y ferrimagnéticos son especialmente útiles como núcleos de diversos dispositivos, como electroimanes y transformadores.

En estos dispositivos, suele estar presente un bobinado alrededor de un núcleo magnético, de gran permeabilidad. El paso de la corriente por la bobina induce la aparición de un gran campo magnético en el núcleo. El problema completo, no obstante, suele ser imposible de resolver analíticamente, por lo que es preciso realizar aproximaciones.

A menudo se trata de modelar el sistema por un circuito magnético. El dato principal es que $\mu\gg\mu_0$ . En este caso, en una interfaz plana entre el núcleo y el vacío se verifica

$\mu H_{n1}=\mu_0 H_{n2}\,$ $H_{t1}=H_{t2}\,$

Al ser la permeabilidad mucho mayor que la del vacío, la componente $H n 1$ debe ser mucho menor que $H n 2$ . Esto quiere decir que el campo interior es prácticamente tangencial a las paredes del núcleo. Suponemos entonces que las líneas de campo en el interior describen curvas cerradas a lo largo del núcleo, sin salir al exterior. Son similares, en esta aproximación, a las líneas de corriente en un circuito eléctrico. La aproximación fallará cuando la permeabilidad no sea tan grande, o en regiones como esquinas, en las que algunas líneas salen al exterior, formando los llamados campos de fuga.

En la aproximación de circuito magnético si tomamos una superficie cerrada formada por dos secciones, $S 1$ y $S 2$ del núcleo y la superficie lateral que las une

$0 = \oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{S_2} \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} - \int_{S_1} \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} +\overbrace{\int_{S_L}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}}^{=0}$

El último término se anula por ser el campo tangente a la superficie. Por tanto, el flujo magnético se conserva a lo largo del núcleo

$\Phi_m = \int_{S_1}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{S_2}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

De nuevo, esto es similar a la conservación de la intensidad de corriente a lo largo de un circuito eléctrico.

Si la sección del núcleo es pequeña comparada con su radio de curvatura podemos hacer la aproximación adicional de que el campo magnético $\mathbf{B}$ es uniforme sobre cada sección y escribirlo como

$\mathbf{B} = \frac{\Phi_m}{S}\mathbf{u}_{} \qquad \mathbf{H} = \frac{\Phi_m}{\mu S}\mathbf{u}$

siendo $\mathbf{u}$ un unitario tangente al núcleo.

El valor de $Φ m$ lo obtenemos por aplicación de la ley de Ampère. Si consideramos una curva a lo largo del núcleo, la circulación de $\mathbf{H}$ será igual a la cantidad de corriente que atraviesa una superficie apoyada sobre ella. Esta corriente es la correspondiente a la bobina. Si el número de espiras es $N$ , se cumple

$N I = \oint \mathbf{H}{\cdot}d\mathbf{r} = \Phi_m R_m \qquad\qquad R_m =\frac{l}{\mu S}$

Al primer miembro se le denomina fuerza magnetomotriz y es el análogo de la f.e.m. para circuitos magnéticos. $R m$ es el análogo de la resistencia y se denomina reluctancia magnética.

El empleo de circuitos magnéticos permite resolver de forma sencilla, pero aproximada, numerosos problemas prácticos.