Corrientes de magnetización

De Laplace

Contenido

1 Definición
- 1.1 Transformación del potencial vector
- 1.2 Definición de las corrientes
  - 1.2.1 Volumétricas
  - 1.2.2 Superficiales
2 Interpretación física
3 Ejemplos
- 3.1 Imán cilíndrico
- 3.2 Barra imanada en dirección acimutal

1 Definición

1.1 Transformación del potencial vector

La expresión para el potencial vector de un cuerpo magnetizado

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{M}(\mathbf{r}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'$

puede transformarse, mediante cálculo vectorial, en la expresión equivalente

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int _\tau\frac{\nabla'\times\mathbf{M}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\partial\tau} \frac{\mathbf{M}\times\mathrm{d}\mathbf{S}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

que puede reescribirse en la forma

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_\tau \frac{\mathbf{J}_m}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\partial\tau}\frac{\mathbf{K}_m}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'$

con

$\mathbf{J}_m(\mathbf{r}') = \nabla'\times\mathbf{M}$ $\mathbf{K}_m(\mathbf{r}')=\mathbf{M}\times\mathbf{n}$

siendo $\mathbf{n}$ la normal exterior al volumen magnetizado.

Aparentemente hemos dado un paso atrás, ya que hemos sustituido una integral de volumen por la suma de dos integrales, una de volumen y otra de superficie. No obstante, hemos progresado, ya que hemos reducido el potencial vector a una expresión que ya conocemos: el potencial vector equivale a la superposición del potencial vector de una corriente volumétrica y de una superficial, siendo $\mathbf{J}_m$ y $\mathbf{K}_m$ sus densidades respectivas.

1.2 Definición de las corrientes

1.2.1 Volumétricas

1.2.2 Superficiales

2 Interpretación física

3 Ejemplos

3.1 Imán cilíndrico

Artículo completo: Imán cilíndrico

Supongamos un cilindro de radio $R$ y longitud $L$ imanado axialmente con una magnetización uniforme $\mathbf{M}_0=M_0\mathbf{u}_z$ . Para este imán

Las corrientes volumétricas de magnetización son nulas:

En el interior, por ser uniforme la imanación

$\mathbf{J}_m=\nabla\times\mathbf{M}_0=\mathbf{0}$

En el exterior, por no haber magnetización

$\mathbf{J}_m=\nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0}$

Para las corrientes superficiales debemos distinguir entre las bases y la cara lateral

En las bases se anulan, por ser paralelos el vector normal y la imanación

$\mathbf{K}_m=\mathbf{M}_0\times\mathbf{n}=(M_0\mathbf{u}_z)\times(\pm\mathbf{u}_z)=\mathbf{0}$

En la cara lateral resulta una corriente acimutal

$\mathbf{K}_m=\mathbf{M}_0\times\mathbf{n}=M_0\mathbf{u}_{z}\times\mathbf{u}_{\rho}=M_0\mathbf{u}_{\varphi}$

Por tanto, un imán cilíndrico es equivalente a un solenoide cilíndrico.

3.2 Barra imanada en dirección acimutal

Cuando se tiene un cilindro de un material magnético recorrido por corrientes longitudinales el campo magnético y la imanación van en la dirección acimutal, expresable en cilíndricas o cartesianas como

$\mathbf{M}=C\rho\mathbf{u}_\varphi = C(-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y)$

Supongamos un cilindro de radio $R$ y longitud $L$ imanado de esta forma. Las corrientes de magnetización son nulas en el exterior del cilindro, mientras que en el interior puede hallarse su rotacional

$\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}=2C\mathbf{u}_z$

Para las corrientes superficiales tenemos

En la base superior $\mathbf{n}=+\mathbf{u}_z$ y

$\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= C\rho\mathbf{u}_\rho\,$

En la base inferior $\mathbf{n}=-\mathbf{u}_z$ y

$\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= -C\rho\mathbf{u}_\rho\,$

En la cara lateral $\mathbf{n}=\mathbf{u}_\rho$

$\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= -CR\mathbf{u}_z\,$

Las corrientes de magnetización en este sistema suben por el interior del volumen, van radialmente hacia la superficie exterior por la cara superior, bajan por la cara lateral y vuelven radialmente hacia adentro por la base inferior. El resultado son líneas de corriente cerradas en torno a la imanación.

Corrientes de magnetización

De Laplace

Contenido

1 Definición

1.1 Transformación del potencial vector

1.2 Definición de las corrientes

1.2.1 Volumétricas

1.2.2 Superficiales

2 Interpretación física

3 Ejemplos

3.1 Imán cilíndrico

3.2 Barra imanada en dirección acimutal

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