Campo de un cable bimetalico

De Laplace

1 Enunciado

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestido de cobre. Está formado por un núcleo de aluminio de radio $a$ (suponga $a = 2mm$ ), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior $b$ (sea $b= 3\,\mathrm{mm}$ ).

Halle el campo magnético producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuando por él circula una corriente $I=100\,\mathrm{A}$ . ¿Cuál es el valor máximo del campo magnético? ¿Dónde se alcanza?

Datos:

Material	Conductividad (10⁷ S/m)	Susceptibilidad (10⁻⁵)
Aluminio	3.55	+2.2
Cobre	5.96	−1.0

2 Densidad de corriente

La corriente $I$ se distribuye por todo el cable, pero no uniformemente, debido a la diferente conductividad de los dos materiales.

Al ser la interfaz paralela a las líneas de corriente y de campo, la continuidad en la componente tangencial de $\mathbf{E}$ implica que el campo eléctrico tiene el mismo valor en el aluminio y en el cobre.

$\mathbf{E}_1=\mathbf{E}_2=E\mathbf{u}_{z}$

La densidad de corriente, en cambio, será mayor en el de mayor conductividad, el cobre

$\mathbf{J}_1=\sigma_1E\mathbf{u}_{z}\qquad \mathbf{J}_2=\sigma_2E\mathbf{u}_{z}$

El valor de $E$ lo obtenemos de la corriente total, que es suma de la que circula por el cobre y por el aluminio

$I = \int\mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = (\sigma_1 E)\pi a^2 + (\sigma_2 E)\pi(b^2-a^2) \quad\Rightarrow\quad E=\frac{I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}$

y de aquí obtenemos la densidad de corriente que fluye por cada material

$J_1=\frac{\sigma_1 I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad J_2=\frac{\sigma_2 I}{\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}$

Los valores numéricos de estas tres cantidades son

$E=72\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\qquad J_1= 2.7\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}\qquad J_1= 4.3\,\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{m}^2}$

Resulta que por el núcleo de cobre circula el 34% de la corriente mientras que por el recubrimiento de cobre va el 66% restante.

3 Campo magnético

El valor del campo magnético lo obtenemos aplicando la ley de Ampère. Dado que tenemos medios materiales, emplearemos la versión correspondiente al campo $\mathbf{H}$

$\oint_\Gamma \mathbf{H}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = I = \int_S\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde I es la corriente libre que traviesa una superficie S apoyada en la curva Γ

Por la simetría del sistema, el campo magnético debe ir en la dirección de $\mathbf{u}_{\varphi}$ y depender exclusivamente de la distancia al eje del cable

$\mathbf{H} = H(\rho)\mathbf{u}_{\varphi}$

La circulación de este campo a lo largo de una circunferencia concéntrica con el eje es

$\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = 2\pi\rho H$

De acuerdo con la ley de Ampère, esta circulación debe ser igual la corriente que atraviesa una superficie apoyada en la curva. Tenemos tres casos, dependiendo de $ρ$ : que estemos en el núcleo de aluminio, en la corteza de cobre o en el exterior del cable.

En el núcleo de aluminio, la corriente que atraviesa este círculo es la integral de $\mathbf{J}_1$ sobre éste

$2\pi\rho H = \int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\rho J_1\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi = \pi \rho^2 J_1$

resultando el campo magnético $\mathbf{H}$

$\mathbf{H} = \frac{J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}} {2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)$

El campo magnético $\mathbf{B}$ lo obtenemos multiplicando por la permeabilidad del aluminio

$\mathbf{B}=\mu_1\mathbf{H} = \frac{\mu_1 J_1\rho}{2}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_1 I \sigma_1\rho \mathbf{u}_{\varphi}} {2\pi(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (\rho< a)$

En el recubrimiento de cobre, la corriente que atraviesa el círculo incluye tanto la del aluminio como una parte de la que va por la propia corteza

$2\pi\rho H = \int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \mu_0\left( \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a J_1\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi + \int_0^{2\pi}\!\!\int_a^\rho J_2\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\right) =\pi\left(J_1 a^2+J_2(\rho^2-a^2)\right)$

de donde

$\mathbf{H} = \frac{(J_1 a^2 + J_2(\rho^2-a^2))}{2\rho}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{I (\sigma_1 a^2 + \sigma_2(\rho^2-a^2))\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (a<\rho<b)$

Multiplicando ahora por la permeabilidad del cobre

$\mathbf{B} = \frac{\mu_2(J_1 a^2 + J_2(\rho^2-a^2))}{2\rho}\mathbf{u}_{\varphi}= \frac{\mu_2 I (\sigma_1 a^2 + \sigma_2(\rho^2-a^2))\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho(\sigma_1 a^2+\sigma_2(b^2-a^2))}\qquad (a<\rho<b)$

Por último, en el exterior, la corriente abarcada es la totalidad

$2\pi\rho H = I \quad\Rightarrow\qquad \mathbf{H} = \frac{I\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho}\qquad (\rho>b)$

siendo ahora la permeabilidad la del vacío

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I\mathbf{u}_{\varphi}}{2\pi\rho}\qquad (\rho>b)$

Resulta un campo magnético que varía de forma continua, siendo nulo justo en el centro del cable, creciendo linealmente desde ahí hasta la interfaz aluminio/cobre, en la que alcanza el valor de $B_1=3.3\,\mathrm{mT}$ . A partir de ahí sigue creciendo como combinación de una función lineal y de una que va como $1 / ρ$ . El valor máximo lo alcanza en la superficie exterior del cable, donde vale

$B(\rho=b) = \frac{\mu_0I}{2\pi b}= 6.7\,\mathrm{mT}$

En el exterior del cable, el campo disminuye con la inversa de la distancia, de forma equivalente a que toda la corriente estuviera concentrada en el eje del cable.

Hay que destacar que en este problema es prácticamente indiferente considerar el aluminio y al cobre como equivalentes al vacío, desde el punto de vista de su permeabilidad, ya que aunque uno es diamagnético y el otro paramagnético, la corrección que ello supone se encuentra en la quinta cifra significativa.

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