Imán esférico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Potencial vector
3 Forma de los campos
4 Corrientes de magnetización
5 Cargas magnéticas

1 Enunciado

Se dispone de una esfera de radio $R$ con una imanación permanente $\mathbf{M}_0=M_0\mathbf{u}_{z}$ .

Determine la expresión integral del potencial vector magnético. Calcule el valor de la integral. Hállese, a partir de $\mathbf{A}$ , el valor de $\mathbf{B}$ y de $\mathbf{H}$ en todos los puntos del espacio.
Describa cualitativamente la forma de $\mathbf{B}$ , $\mathbf{H}$ y $\mathbf{M}_0$
Calcule las corrientes de magnetización equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de contorno para $\mathbf{B}$ .
Halle la distribución de cargas magnéticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para $\mathbf{H}$ .

2 Potencial vector

La expresión integral de $\mathbf{A}$ en términos de la magnetización es una generalización del potencial vector de un dipolo puntual,

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{M}_0\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'$

con la integral extendida a todo el espacio.

En nuestro caso, en que la magnetización es uniforme en la esfera y nula en el exterior, podemos extraer $\mathbf{M}_0$ de la integral y escribir

$\mathbf{A}=\mu_0\mathbf{M}_0\times\left(\frac{1}{4\pi} \int_{r<R}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'\right)$

donde la integral se realiza únicamente en la esfera. Recordando, como en el problema de la esfera polarizada uniformemente, la integral que define el campo eléctrico creado por una distribución de carga

$\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'$

Vemos que la integral en cuestión es formalmente equivalente a la que da el campo eléctrico creado por una distribución

$\rho(\mathbf{r})=\begin{cases}\varepsilon_0 & r<R \\ 0 & r>R\end{cases}$

(esto no quiere decir que la integral sea un campo eléctrico, sólo que su forma es la misma). El campo que crearía esta distribución es conocido y vale

$\frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'= \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{3}\mathbf{r} & r<R \\ & \\ \displaystyle\frac{1}{3}\,\displaystyle\frac{R^3}{r^3}\mathbf{r} & r>R\end{cases}$

y, por tanto,

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{3}\mathbf{M}_0\times\mathbf{r}$

en el interior de la esfera y

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}$ $\mathbf{m}=\frac{4\pi}{3}R^3\mathbf{M}_0$

3 Forma de los campos

Una vez conocido el potencial vector, el cálculo del campo es inmediato. En particular, para el interior de la esfera resulta

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}= \frac{\mu_0}{3}\nabla\times(\mathbf{M}_0\times\mathbf{r})= \frac{2}{3}\mu_0\mathbf{M}_0$

esto es, un campo uniforme en el mismo sentido que la magnetización.

En el exterior tenemos el potencial vector de un dipolo, correspondiente a que todo la magnetización estuviera concentrada en el centro de la esfera. El campo magnético correspondiente será asimismo uno dipolar

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0(3(\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m})}{4\pi r^5} = \frac{\mu_0 R^3(3(\mathbf{M}_0{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{M}_0)}{3r^5}$

El campo magnético $\mathbf{H}$ , en el interior de la esfera, lo podemos obtener de la magnetización y del campo magnético $\mathbf{B}$

$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M} = -\frac{\mathbf{M}_0}{3}$

Resulta un valor uniforme, pero opuesto a la magnetización.

En el exterior, donde la magnetización es nula, el campo $\mathbf{H}$ es proporcional al campo magnético $\mathbf{B}$ ,

$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} = \frac{3(\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{4\pi r^5} = \frac{R^3(3(\mathbf{M}_0{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{M}_0)}{3r^5}$

4 Corrientes de magnetización

Las corrientes de magnetización equivalentes están definidas como

$\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}$ $\mathbf{K}_m = \mathbf{n}\times[\mathbf{M}]$

La densidad de corriente de volumen es cero en el exterior de la esfera, en la cual la magnetización es nula. También lo es en el interior, ya que en él la magnetización es uniforme

$\mathbf{J}_m = \begin{cases}\nabla\times \mathbf{M}_0 = \mathbf{0} & r<R \\\nabla\times\mathbf{0} = \mathbf{0} & r> R\end{cases}$

Las corrientes superficiales no son nulas, ya que tenemos una discontinuidad en la magnetización. Empleando coordenadas esféricas

$\mathbf{K}_m = \mathbf{n}\times[\mathbf{M}]=\mathbf{u}_{r}\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_{z})=M_0\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}$

Estas corrientes rodean la esfera perpendicularmente a la magnetización.

Dado que no hay corrientes libres, las ecuaciones para el campo magnético $\mathbf{B}$ son

$\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0$ $\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{J}_l+\mathbf{J}_m) = \mathbf{0}$

y las condiciones de salto

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0(\mathbf{K}_l+\mathbf{K}_m) = \mu_0 M_0\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}$

A partir de estas ecuaciones puede determinarse directamente el campo magnético, sin pasar por el potencial vector. El resultado, como hemos visto es que el campo magnético, de forma similar a lo que ocurre en una bobina recta, es uniforme en el interior y dipolar en el exterior, describiendo curvas cerradas en torno a las corrientes.

5 Cargas magnéticas

A partir de la imanación hallamos las cargas de magnetización equivalentes

$\rho_m=-\nabla{\cdot}\mathbf{M}\,$ $\sigma_m = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{M}]\,$

La densidad volumétrica de carga, como ocurría con la de corriente, es nula tanto dentro como fuera de la esfera

$\rho_m = \begin{cases}-\nabla{\cdot} \mathbf{M}_0 =0 & r<R \\ -\nabla{\cdot}\mathbf{0} = 0 & r> R\end{cases}$

mientras que las superficiales no son nulas

$\sigma_m = -\mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(\mathbf{0} - M_0\mathbf{u}_{z}\right) = M_0\cos\theta$

Esta densidad de carga es positiva (polo norte) en el hemisferio al cual apunta $\mathbf{M}_0$ y negativa (polo sur), en el hemisferio sur.

El problema puede plantearse como uno de condiciones de contorno para el campo $\mathbf{H}$ , cuyas fuentes son las corrientes libres y las cargas de magnetización. La densidad volumétrica la da

$\nabla{\cdot}\mathbf{H} = \rho_m = 0$ $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_l = \mathbf{0}$

y la superficial

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{H}] = \sigma_m = M_0\cos\theta$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{H}]=\mathbf{K}_l = \mathbf{0}$

Estas ecuaciones son idénticas a las de un campo electrostático generado por una densidad de carga $σ s = σ 0 cosθ$ sobre la superficie de una esfera. El resultado es un campo que va de los polos norte a los polos sur; por tanto, en el interior de la esfera, en sentido opuesto a la magnetización. El que el campo interior vaya en sentido opuesto, lo convierte en un campo desmagnetizante, esto es, un imán permanente tiende a desimanarse a sí mismo.

La diferencia de sentido entre $\mathbf{B}$ y $\mathbf{H}$ ilustra la diferencia entre un campo solenoidal y uno irrotacional. Para $\mathbf{B}$ , que es solenoidal, se cumple que el flujo es cero, mientras que la circulación no lo es. Esto obliga a que las líneas de campo no puedan tener ni principio ni fin (ya que si lo tuvieran el flujo en torno a un extremo sería no nulo), sino que son posiblemente cerradas. Para un campo irrotacional como es $\mathbf{H}$ , en cambio, la circulación es nula, mientras que el flujo puede ser distinto de cero. Esto implica que no puede haber líneas de campo cerradas (ya que si las hubiera podría calcularse la circulación sobre dichas líneas y resultaría un valor no nulo). Las líneas de $\mathbf{H}$ deben ir de las fuentes (cargas positivas) a los sumideros (cargas negativas). Todo esto, por supuesto, si consideramos que no hay líneas que vengan de o vayan al infinito.

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