Fundamentos matemáticos

De Laplace

1 Introducción

2 Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Artículo completo: Sistemas de coordenadas

3 Campos escalares y vectoriales

4 Gradiente

Artículo completo: Gradiente

Dado un campo escalar $\phi\,$ , su gradiente, $\nabla\phi\,$ , es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos $\mathbf{r}$ y $\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}$ , permite hallar el diferencial de $φ$ como

$\mathrm{d}\phi = \phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\phi(\mathbf{r}) = (\nabla\phi){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

A partir de esta definición se obtiene que la expresión de $\nabla\phi$ en un sistema coordenado ortogonal es

$\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\mathbf{u}_{1}+ \frac{1}{h_2}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\mathbf{u}_{2} +\frac{1}{h_3}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\mathbf{u}_{3}$

con aplicación inmediata a los tres sistemas más comunes.

Este vector puede leerse como la aplicación de un operador vectorial $\nabla$ (llamado operador nabla) al campo escalar, siendo

$\nabla = \frac{\mathbf{u}_{1}}{h_1}\,\frac{\partial\ }{\partial q_1}+ \frac{\mathbf{u}_{2}}{h_2}\,\frac{\partial\ }{\partial q_2} +\frac{\mathbf{u}_{3}}{h_3}\,\frac{\partial\ }{\partial q_3}$

Entre las propiedades del gradiente destaca la de ser normal a las superficies equipotenciales.

Del campo $\mathbf{F} = -\nabla\phi$ se dice que deriva del potencial escalar $\phi\,$ .

5 Flujo y divergencia

5.1 Flujo de un campo vectorial

Artículo completo: Flujo de un campo vectorial

El flujo de un campo vectorial $\mathbf{A}$ a través de una superficie abierta $S$ se define como

$\Phi = \int_S \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

y puede entenderse como una medida de la cantidad de campo que atraviesa dicha superficie (gráficamente, como el número de líneas de campo que atraviesan $S$ ).

De manera análoga se define el flujo a través de una superficie cerrada $\partial\tau$ , que encierra un volumen $τ$

$\Phi = \oint_{\partial\tau} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde en este caso $\mathrm{d}\mathbf{S}$ apunta siempre hacia el exterior de la superficie, midiendo el flujo la cantidad de campo que escapa hacia el exterior.

5.2 Divergencia

Artículo completo: Divergencia de un campo vectorial

La divergencia, $\nabla{\cdot}\mathbf{A}$ , de un campo vectorial $\mathbf{A}$ se define como el límite, cuando un volumen $Δτ$ se reduce a un punto, del flujo del campo a través de la frontera de $Δτ$ , dividido por el volumen del elemento

$\nabla{\cdot}\mathbf{A}=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{1}{\Delta\tau}\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

A partir de esta definición puede demostrarse que la divergencia de un campo puede calcularse como la aplicación del operador $\nabla$ escalarmente sobre $\mathbf{A}$ . Su expresión en distintos sistemas y en general se indica en la tabla correspondiente.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar $ρ$ , denominado las fuentes escalares de $\mathbf{A}$

$\rho(\mathbf{r})=\nabla{\cdot}\mathbf{A}$

Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina campo solenoidal.

La expresión de la divergencia en un sistema de coordenadas ortogonal es relativamente complicada:

$\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac{\partial\ }{\partial q_1}\left(A_1h_2h_3\right)+\frac{\partial\ }{\partial q_2}\left(h_1A_2h_3\right)+\frac{\partial\ }{\partial q_3}\left(h_1h_2A_3\right)\right)$

aunque en coordenadas cartesianas se simplifica notablemente:

$\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

Hay que señalar, no obstante, que el valor de la divergencia es independiente del sistema de coordenadas que se emplee para calcularla.

5.3 Teorema de Gauss

Artículo completo: Teorema de Gauss

El flujo de un campo a través de una superficie cerrada y la divergencia están estrechamente relacionados a través del Teorema de Gauss

$\oint_{\partial\tau} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_\tau \nabla\cdot\mathbf{A}\,\mathrm{d}\tau$

que nos dice que la cantidad de campo que escapa hacia el exterior de una superficie cerrada $\partial\tau$ es igual a la suma neta de las fuentes escalares contenidas en el interior de dicha superficie.

6 Circulación y rotacional

6.1 Circulación de un campo vectorial

Artículo completo: Circulación de un campo vectorial

La circulación de un campo vectorial $\mathbf{F}$ a lo largo de una curva $Γ$ se define como la integral de camino

$C = \oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

La circulación puede interpretarse como una medida de la rotación neta del campo a lo largo de la curva.

6.2 Rotacional

Artículo completo: Rotacional

El rotacional, $\nabla\times\mathbf{F}$ , de un campo vectorial $\mathbf{F}$ es un vector, cuya componente en un punto $\mathbf{r}$ , según la dirección dada por un vector unitario $\mathbf{u}_{}$ es

$(\nabla\times\mathbf{F}){\cdot}\mathbf{u}_{} =\lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_\Gamma \mathbf{F}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

siendo $Γ$ una curva que se reduce a un punto, y $Δ S$ el área delimitada por la curva. La dirección normal al plano de la curva es la dada por $\mathbf{u}_{}$ y la orientación la que establece la regla de la mano derecha.

A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial sobre $\mathbf{F}$ .

El campo vectorial que se obtiene a partir de $\mathbf{F}$ hallando su rotacional en cada punto se denomina como fuentes vectoriales de $\mathbf{F}$ . Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como irrotacional o potencial.

La expresión general del rotacional en coordenadas curvilíneas puede hallarse mediante el producto vectorial simbólico

$\nabla\times\mathbf{F}= \frac{1}{h_1h_2h_3}\left|\begin{matrix}h_1\mathbf{u}_1 & h_2\mathbf{u}_2 & h_3\mathbf{u}_3 \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial q_1} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial q_2} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial q_3} \\ & & \\ h_1F_1 & h_2F_2 & h_3F_3\end{matrix}\right|$

que para el sistema cartesiano se reduce a

$\nabla\times\mathbf{F}= \left|\begin{matrix}\mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ & & \\ F_x & F_y & F_z\end{matrix}\right|= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{u}_x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{u}_y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\mathbf{u}_z$

6.3 Teorema de Stokes

Artículo completo: Teorema de Stokes

La circulación a lo largo de una curva cerrada $Γ$ y el rotacional de un campo vectorial están relacionados por el teorema de Stokes

$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_S \left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

siendo $S$ una superficie arbitraria que tiene a $Γ$ por borde, y cuyo vector normal verifica la regla de la mano derecha respecto al recorrido de $Γ$ .

7 Otros operadores de primer orden

8 Otros teoremas vectoriales

9 Operadores de segundo orden

10 Ángulo sólido

11 Delta de Dirac

12 Potenciales

12.1 Potencial escalar

Artículo completo: Potencial escalar

Un campo irrotacional en una región $τ$ del espacio es aquel cuyo rotacional es nulo en dicha región

$\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\qquad\forall\mathbf{r}\in\tau$

Un campo de este tipo puede expresarse, en dicha región, como el gradiente de un campo escalar, conocido como el potencial escalar del cual deriva dicho campo.

$\mathbf{F}=-\nabla\phi$

(el signo negativo es cuestión de convenio). Para un campo $\mathbf{F}$ el potencial escalar no es único, ya que siempre se puede obtener un segundo potencial escalar sumándole una constante

$\phi_2=\phi_1+k\,$ $\Rightarrow$ $-\nabla\phi_2=-\nabla\phi_1=\mathbf{F}$

Para evitar ambigüedades, en cada problema donde se necesite usar el potencial escalar, es necesario definir el origen de potencial, que es aquel punto $\mathbf{r}_0$ del espacio en que el potencial escalar es nulo, $\phi(\mathbf{r}_0)=0\,$ .

El potencial escalar puede calcularse a partir del campo vectorial $\mathbf{F}$ mediante la integral

$\phi(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

El ejemplo más importante de potencial escalar es el potencial eléctrico, del cual deriva el campo electrostático.

12.2 Potencial vector

Artículo completo: Potencial vector

Un campo solenoidal en una región $τ$ del espacio es aquel cuya divergencia es nula en dicha región

$\nabla\cdot\mathbf{F}=0\qquad\forall\mathbf{r}\in\tau$

Un campo de este tipo puede expresarse, en dicha región, como el rotacional de un campo vectorial, conocido como el potencial vector $\mathbf{A}$ del cual deriva dicho campo.

$\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{A}$

Para un campo $\mathbf{F}$ el potencial vector no es único, ya que siempre se puede obtener un segundo potencial vector sumándole el gradiente de un campo escalar arbitrario