Cálculo de gradientes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Primer campo
- 2.2 Segundo campo

1 Enunciado

Para los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El gradiente del primer campo, calculado en cartesianas es

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{u}_{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{u}_{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{u}_{z}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$

Vemos que el resultado no es otro que el vector de posición.

Para calcularlo en cilíndricas, empleamos la expresión de este campo que calculamos en otro problema.

$\phi = \frac{\rho^2+z^2}{2}$

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\mathbf{u}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\varphi}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{u}_{z} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z}$

Y, en esféricas,

$\phi = \frac{r^2}{2}$ $\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\mathbf{u}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\mathbf{u}_{\theta}+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\varphi} = r\mathbf{u}_{r}$

De estos resultados obtenemos tres expresiones equivalentes para el vector de posición