Cálculo de laplacianos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Calcule el laplaciano de los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$
$\phi = \rho^3\cos\varphi$
$\phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta$

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El laplaciano se define como la divergencia del gradiente. Para el campo (1) se ve en el problema de cálculo de gradientes que su gradiente vale

$\nabla\phi = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \mathbf{r}$

Hallar el laplaciano de $\phi\,$ equivale a calcular la divergencia del vector de posición. Pero este cálculo ya se hace en el problema de cálculo de divergencias y rotacionales. Allí se ve que, independientemente del sistema empleado para calcularla

$\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\mathbf{r} = 3$

2.2 Segundo campo

Para el segundo campo, de nuevo calculamos su gradiente en un problema y la divergencia de éste en otro, donde se ve que

$\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\left(-x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\right)= 0$

2.3 Tercer campo

Para el tercer campo, ya tenemos su expresión en cilíndricas. Calculamos el laplaciano en estas coordenadas

$\nabla^2\phi = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\ }{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial \phi}{\partial \rho}\right)+ \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 9\rho\cos\varphi - \rho\cos\varphi = 8\rho\cos\varphi$

En cartesianas este campo se expresa

$\phi = (x^2+y^2)x = x^3 + y^2x\,$

y su laplaciano vale

$\nabla^2\phi = 6x + 2x = 8x$

En esféricas, la expresión del campo es

$\phi = r^3\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi$

y la del laplaciano, separando previamente los sumandos,

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right) = 12r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi$ $\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right) = r\left(9\,\mathrm{sen}\,\theta\cos^2\theta-3\,\mathrm{sen}^3\theta\right)\cos\varphi = r\left(9\,\mathrm{sen}\,\theta-12\,\mathrm{sen}^3\theta\right)\cos\varphi$ $\frac{1}{r^2\mathrm{sen}^2\theta}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2} = -r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi$ $\nabla^2\phi = 8r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi$

Los tres resultados son naturalmente coincidentes.

2.4 Cuarto campo

En el último caso tenemos un campo expresado en esféricas

$\phi = r^3\mathrm{sen}\,\theta$

con laplaciano

$\nabla^2\phi = 12r\,\mathrm{sen}\,\theta + \frac{r}{\mathrm{sen}\,\theta}-2r\,\mathrm{sen}\,\theta = 10r\,\mathrm{sen}\,\theta + r\,\mathrm{cosec}\,\theta$

\] Expresando este campo en cilíndricas