Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)

De Laplace

Contenido 1 Rotaciones finitas sucesivas de 90° 2 Rotaciones finitas sucesivas 3 Composición de dos rotaciones de 90° 4 Velocidad relativa de dos vagones 5 Peonza rodante oblicua 6 Peonza rodante horizontal 7 Bola que rueda en carril 8 Barra que desliza en eje rotatorio 9 Esfera en recipiente cilíndrico 10 Discos en ejes ortogonales 11 Varilla en eje giratorio 12 Suspensión cardán de dos ejes 13 Suspensión de tres ejes 14 Disco apoyado en ruedecillas 15 Dos barras articuladas 16 Engranaje epicicloidal 17 Engranaje hipocicloidal 18 Días en un año 19 Engranaje planetario 20 Barra apoyada en placa cuadrada 21 Barra apoyada en disco 22 Rodillo que empuja a otro 23 Rodillos apoyados en pared y suelo 24 Aro rodante dentro de aro rodante

1 Rotaciones finitas sucesivas de 90°

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación +90° en torno a OX₁. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
2. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OX₁ y a continuación +90° en torno a OY₁?
3. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación +90° en torno a OX₂?
4. Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a OY₁; 2º +90° en torno a OX₁) y a continuación se gira −90° en torno a OY₁ seguido de −90° en torno a OX₁, ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

Solución

2 Rotaciones finitas sucesivas

¿Cómo quedan los resultados del problema anterior si los giros no son de +90° sino de β = arctg(3 / 4)? (recomendable hacer los cálculos con ayuda de un ordenador).

Solución

3 Composición de dos rotaciones de 90°

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a OY₁ por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
2. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a OY₁ por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
3. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY₁ y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a OZ₁ por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?

Solución

4 Velocidad relativa de dos vagones

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “3”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades . El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es . Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante. Halle las velocidades relativas y en los siguientes casos:

1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
2. La vagoneta B se mueve por una vía circular de radio R, mientras que A se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios R y R+b, respectivamente.
4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado.
5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos.

(1)	(2)
(3)	(4)	(5)

Solución

5 Peonza rodante oblicua

Una peonza está formada por una varilla de longitud ensartada en un disco de radio . Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez . El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula. Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:

1. La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.
2. La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en , considerado como punto del sólido.
3. La aceleración angular del sólido.
4. La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

Solución

6 Peonza rodante horizontal

Un disco de radio R (“sólido 3”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 2”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal z = 0 (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje OX₂ es a lo largo de la barra horizontal y OZ₂ = OZ₁ en todo momento. Sea φ(t) el ángulo que el eje OX₂ forma con el OX₁. En un instante dado ,,. Para ese instante:

1. Determine los vectores , y .
2. Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {21}, {32} y {31}.
3. Calcule las velocidades en el movimiento {31} y el {21} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
4. Halle las aceleraciones angulares , y .
5. Calcule las aceleraciones en los movimientos {31} y {32} de los puntos A, G y D del apartado (3).

Solución

7 Bola que rueda en carril

Una bola (sólido “2”), de radio , se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios y , situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles. Consideramos como sólido móvil intermedio (“sólido 0”) al plano O₁X₀Z₀ que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

1. ¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema?
2. Sea θ(t) el ángulo que forma el eje OX₀ con el OX₁. Con ayuda del sólido intermedio halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
3. Halle las velocidades angulares y aceleraciones angulares de los movimientos {21}, {20} y {01}
4. Para el punto de la bola en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine y .

Solución

8 Barra que desliza en eje rotatorio

El armazón de barras paralelas a los ejes OX0 y OZ0 (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular .
2. ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
3. La aceleración angular y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}

Solución

9 Esfera en recipiente cilíndrico

Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante v₀ alrededor del eje vertical. Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje OZ₁=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano OX₀Z₀ . Con ayuda de este sistema determine y exprese:

1. Las velocidades angulares , y
2. La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
3. Las aceleraciones angulares , y
4. Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.

Solución

10 Discos en ejes ortogonales

Dos discos “2” y “3”, de radio R, están montados sobre ejes perpendiculares, como indica la figura. Los ejes de los discos se hallan a una distancia b del origen (b > R). Ambos giran respecto al sistema fijo “1” con velocidad angular de módulo constante Ω, dirección ortogonal a los ejes donde están montados y sentido el positivo de cada eje.

1. ¿Cuánto vale la velocidad angular del disco “3” respecto al disco “2”, ?
2. ¿Qué tipo de movimiento es el {32} (rotación, helicoidal…)? ¿Por dónde pasa el EIRMD?
3. ¿Cuánto vale la aceleración angular del disco “3” respecto al disco “2”, ?
4. ¿Cuál es la velocidad del origen de coordenadas, O, en el movimiento de “3” respecto a “2”?

Solución

11 Varilla en eje giratorio

Una varilla “3” está articulada en el punto de un eje OY₂. La varilla gira con velocidad angular (Ω=cte.) alrededor de su articulación. El eje OY₂ gira a su vez con velocidad angular respecto a un eje OZ₁ de un sistema exterior fijo.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el {31}, que realiza la varilla “3” respecto al sistema exterior fijo “1” (helicoidal, rotación,…)?
2. ¿Cuál es la ecuación del Eje Instantáneo de Rotación (y Mínimo Deslizamiento, en su caso), del movimiento {31}?
3. ¿Cuánto vale la aceleración angular del movimiento {31}?

Solución

12 Suspensión cardán de dos ejes

Una suspensión Cardán de dos ejes puede modelarse mediante tres aros concéntricos (gimbal) articulados sobre ejes perpendiculares Sea φ el ángulo que forma el aro intermedio (“sólido 2”) con el exterior (“sólido 1”), y θ el que el aro interior (“sólido 3”) forma con el intermedio. Cuando los dos ángulos se anulan los tres aros son coplanarios. Puede asociarse un sistema de ejes a cada sólido, de manera que el eje de las rotaciones en φ es OZ₁ = OZ₂ y el de las de θ es OX₂ = OX₃. En función de los dos ángulos y sus derivadas respecto al tiempo

1. Indique las relaciones entre las bases ligadas a cada sólido
2. Exprese las velocidades angulares , y .
3. Exprese las aceleraciones angulares , y .

        

Solución

13 Suspensión de tres ejes

El sistema de los ángulos de Euler para describir cualquier rotación puede modelarse con una suspensión cardán de tres ejes, similar al del problema anterior pero con un cuarto sólido interior. El sólido 4 forma un ángulo ψ con el 3, siendo su eje de giro OZ₃ = OZ₄

1. Indique las relaciones entre las bases ligadas a cada par de sólidos consecutivos
2. Exprese la velocidad angular y la aceleración angular en la base que sea más adecuada.

        

Solución

14 Disco apoyado en ruedecillas

El plato de un microondas es un disco de radio R (sólido “2”), que gira con velocidad angular alrededor de un eje fijo OZ₁. Para que no roce con la caja, se apoya sobre tres ruedecillas de radio r (siendo una de ellas el sólido “3”), montadas sobre un aro de plástico también de radio R (sólido “0”). El contacto del plato con las ruedecillas y de éstas con el suelo del horno es de rodadura sin deslizamiento. Se toma un sistema de ejes “0” ligado al aro en el que el OZ₀ es el eje del plato y el OX₀ el horizontal que pasa por el centro la ruedecilla “3”.

• ¿Cuál es la velocidad angular, respecto al suelo, del aro donde van montados las ruedecillas?
• ¿Cuánto vale la velocidad angular de la ruedecilla respecto a su eje, 〖OX〗_0? ¿Y respecto al suelo?

Solución

15 Dos barras articuladas

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos OX₁Y₁. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema OX₂Y₂ ligado a la primera barra…

1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación I₃₁ del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
3. Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.

Solución

16 Engranaje epicicloidal

Un engranaje epicicloidal es aquel en que tenemos un disco interior “1”, de radio R, que podemos considerar fijo y sobre el exterior rueda sin deslizar un disco “2” de radio r. Supongamos que el centro C del disco “2” se mueve con velocidad lineal de rapidez constante v₀ respecto al disco fijo.

1. ¿Cuál es la velocidad angular del disco, ω₂₁?
2. ¿Cuánto vale la velocidad lineal de un punto P del borde del disco “2”?
3. ¿Cuánto vale la aceleración lineal de P?
4. ¿Cuál es la ecuación horaria para la posición de P con el tiempo?
5. ¿En qué casos es periódico el movimiento de P?

  

Solución

17 Engranaje hipocicloidal

Responda a las mismas preguntas que en el problema anterior para el caso de un engranaje hipocicloidal, en el cual el disco rueda sin deslizar por el interior de una corona de radio R

Solución

18 Días en un año

Considerando un sistema de referencia exterior fijo respecto a las estrellas lejanas, ¿cuántas vueltas da la Tierra alrededor de su eje al cabo de un año?

Solución

19 Engranaje planetario

Se tiene un engranaje planetario formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio r (sólido “2”, el “sol”) y una corona exterior estacionaria (sólido “1”), de radio R. Entre el sol y la corona se encuentra un sistema de tres discos iguales (los “planetas”, siendo uno de ellos el sólido “3”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por el portaplanetas o carrier (sólido “4”). En un momento dado, el sol se encuentra girando con velocidad angular Ω respecto la corona y el centro del disco “3” se encuentra sobre el eje {OX}_4

1. Determine las velocidad angular ω₄₁ y su proporción con la ω₂₁ (relación de transformación)
2. Alternativamente puede fijarse el carrier, con lo que, al hacer girar el sol, la corona empieza a girar. ¿En qué sentido lo hace? ¿Cuánto vale la proporción ω₁₄ / ω₂₄?

Solución

20 Barra apoyada en placa cuadrada

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado b (sólido “2”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo OX₁ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo OX₁Y₁. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “0”), que gira con velocidad angular , alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura).

1. Determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I₂₁, I₀₂ e I₀₁.
2. Calcule la velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos y respecto de la barra (movimientos {21} y {20}, respectivamente), expresada en función de θ y sus derivadas,
3. Halle la velocidad angular , correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {20}).
4. Determine la aceleración del centro de la placa, G, en el movimiento {21} en función del ángulo θ y sus derivadas respecto al tiempo.

Solución

21 Barra apoyada en disco

El esquema de la figura muestra una disco de radio b (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal fijo OX₁ (sólido “1”), mientras que el disco permanece contenida siempre en el plano vertical fijo OX₁Y₁. Sobre este disco se apoya en todo momento una varilla delgada (sólido “0”), que gira con velocidad angular , alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). El punto de contacto en un instante dado es A. Se pide:

1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I₂₁, I₀₂ e I₀₁.
2. Calcular la velocidad del punto A del disco en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos y respecto de la barra (movimientos {21} y {20}, respectivamente), expresada en función de θ y sus derivadas,
3. Hallar la velocidad angular , correspondiente al movimiento relativo del disco respecto de la varilla (movimiento {20}).
4. Determinar la aceleración del centro del disco, G, en el movimiento {21} en función del ángulo θ y sus derivadas respecto al tiempo.

Solución

22 Rodillo que empuja a otro

Un rodillo de radio R (“sólido 0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una rapidez constante v₀ respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio r (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

1. Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
2. ¿Dónde se halla el CIR del movimiento {20}?
3. Particularice los resultados anteriores para el caso m, , .

Solución

23 Rodillos apoyados en pared y suelo

Dos discos homogéneos del mismo material describen un movimiento plano de la siguiente manera respecto a un suelo y una pared fijos (sólido “1”): El disco “2”, que tiene radio R, rueda sin deslizar por el suelo, de manera que su centro C se mueve con velocidad uniforme . El disco “3”, que tiene radio r y centro B desciende rodando y deslizando por una pared vertical, de manera que en todo momento se apoya en el disco “2”, sobre el cual puede rodar sin deslizar En un instante dado, la posición relativa de los centros es .

1. Calcule la velocidad angular y la aceleración angular de los dos discos respecto al sistema fijo “1”, así como la velocidad del centro B respecto a este mismo sistema.
2. Calcule la velocidad de deslizamiento , es decir, la velocidad que tiene el disco “3” en el punto de contacto con la pared.
3. Halle la aceleración del centro B en ese instante.
4. Dé valores numéricos para los apartados anteriores si , , , , .

Solución

24 Aro rodante dentro de aro rodante

Un aro de radio R (“sólido 0”) y centro C rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal (“sólido 1”). En el interior del aro 0 se encuentra un segundo aro de radio r (“sólido 2”) y centro D, que rueda sin deslizar por la cara interior del aro 0. Empleamos como variables para describir el sistema la coordenada x del centro C respecto a un sistema de referencia fijo y el ángulo θ que la línea CD que une los centros forma con la vertical CA. Exprese, en función de estas variables y sus derivadas,

1. La velocidad de A, B, C y D en los movimientos {20}, {01} y {21}
2. Las velocidades angulares , y .
3. El CIR de los tres movimientos.
4. Las aceleraciones angulares de estos movimientos.
5. La aceleración de A, B, C y D en los tres movimientos.

Solución