De Laplace

Contenido 1 Problemas del boletín (2015/16) 1.1 Ecuaciones de curvas 1.2 Trayectoria de una partícula 1.3 Movimiento instantáneo de una partícula 1.4 Tiro oblicuo 1.5 Disco girando con partícula suspendida de cuerda 1.6 Movimiento oscilatorio armónico unidimensional 1.7 Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra 1.8 Parámetro arco y triedro intrínseco de una hélice

1 Problemas del boletín (2015/16)

1.1 Ecuaciones de curvas

Expresa en forma parámetrica e implícita las siguientes curvas

1. El eje OY
2. Una circunferencia de radio a, contenida en el plano XY y con centro en el origen.
3. Una parábola contenida en el plano YZ y con ecuación z = y².

1.2 Trayectoria de una partícula

La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria

Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental ? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

1.3 Movimiento instantáneo de una partícula

Una partícula P se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ de manera que en un cierto instante t₀, su velocidad y su aceleración están descritas por los vectores

con sus componentes medidas en m / s y m / s², respectivamente. Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:

1. Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
2. Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
3. Vector aceleración normal.

1.4 Tiro oblicuo

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial v₀ y un ángulo α con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

1.5 Disco girando con partícula suspendida de cuerda

El mecanismo de la figura consiste en un disco de radio R, siempre contenido en el plano vertical OXY, que se mueve girando alrededor de un punto de su perímetro que coincide con el origen O del sistema de referencia. El movimiento del disco está descrito por la ley horaria θ(t) para el ángulo (medido en radianes) que forma el diámetro con la dirección horizontal OX. Se considera que el sistema parte de la posición inicial θ = 0. En el punto D hay conectada una cuerda flexible e inextensible de longitud L = πR que, cuando el disco gira, se va enrollando sobre su contorno, finalizando el proceso cuando θ = π. Además, un punto material pesado P hace que el tramo de cuerda no enrollado siempre penda verticalmente.

1. Obtenga la ecuación paramétrica de la trayectoria Γ.
2. El extremo D del diámetro realiza un movimiento circular uniforme, siendo su aceleración . ¿Cómo es la correspondiente ley horaria para el ángulo θ?
3. Calcule la expresión de la componente intrínseca de la velocidad de la partícula P.
4. Aceleración tangencial del punto P.
5. Radio de curvatura de la trayectoria de P en el punto de inicial.

1.6 Movimiento oscilatorio armónico unidimensional

Un punto inicialmente en reposo en la posición x = L describe un movimiento rectilíneo sobre el eje OX, de modo que su aceleración es de la forma a = − k²x. Determina en función del tiempo su posición y velocidad. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

1.7 Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular ω constante. Encuentra en función de la latitud λ, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: m.)

1.8 Parámetro arco y triedro intrínseco de una hélice

Sea la hélice Γ descrita en un sistema de referencia cartesiano OXYZ por las siguientes ecuaciones paramétricas:

donde a y h son constantes conocidas.

1. Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro λ
2. Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
3. Calcula su radio de curvatura.