Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores y son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

y del seno

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

Construya una base ortonormal dextrógira , tal que

1. El primer vector, , vaya en la dirección y sentido de
2. El segundo, , esté contenido en el plano definido por y y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de ) que el vector .
3. El tercero, , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe

¿Cuál es su expresión en la base

Solución

5 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
3. Escriba como suma de dos vectores, uno paralelo a y otro ortogonal a él.

Solución

6 Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

7 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, y uno que se desea determinar, . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por

Determine el valor de . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar ?

Solución