Problemas de vectores libres (G.I.A.)
De Laplace
(→Derivada de un vector) |
|||
| Línea 30: | Línea 30: | ||
y | y | ||
<math>\vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}</math>., así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros. | <math>\vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}</math>., así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros. | ||
| + | |||
| + | ==[[Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2011 |Rombo situado en el espacio]]== | ||
| + | [[Archivo:algvec_nov_11.gif|right]]El rombo <math>OACB</math> tiene sus lados de longitud unidad y su | ||
| + | área es igual a <math>\displaystyle\sqrt{3}/2</math>. Su lado <math>OA</math> se encuentra en el plano | ||
| + | <math>OXY</math> de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de | ||
| + | <math>\pi/4</math> con el eje <math>OX</math>. El lado <math>OB</math> forma un ángulo de <math>\pi/4</math> | ||
| + | con el eje <math>OZ</math>. | ||
| + | |||
| + | # Calcular la longitud de la diagonal <math>OC</math> | ||
| + | # Determinar las coordenads cartesianas del vértice <math>C</math> | ||
| + | |||
==[[Teoremas_del_seno_y_del_coseno_(G.I.A.) |Teoremas del seno y del coseno]]== | ==[[Teoremas_del_seno_y_del_coseno_(G.I.A.) |Teoremas del seno y del coseno]]== | ||
Revisión de 12:53 29 sep 2012
1 Suma y diferencia de vectores
El vector 
tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 
con el eje X, mientras que el vector 
tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.
2 Componentes cartesianas de un vector
Calcula las componentes cartesianas de un vector con módulo de 13.0 unidades que forma un
ángulo 
con el eje Z y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo
con el eje + X. Calcula también los ángulos con los ejes X e Y.
3 Ángulo que forman dos vectores
Calcula el angulo que forman los vectores
y
. Calcula también los cosenos directores de ambos vectores.
4 Diagonales de un rombo
Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.
5 Ángulo capaz de 90o
Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro
cualquiera, demuestra que las cuerdas
y 
se cortan perpendicularmente,para
todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz
de 90o).
6 Producto vectorial de dos vectores
Calcula el producto vectorial de los vectores
y
., así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.
7 Rombo situado en el espacio
área es igual a 
. Su lado OA se encuentra en el plano
OXY de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de
π / 4 con el eje OX. El lado OB forma un ángulo de π / 4
con el eje OZ.
- Calcular la longitud de la diagonal OC
- Determinar las coordenads cartesianas del vértice C
8 Teoremas del seno y del coseno
Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
9 Vértices de un tetraedro
Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:
Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.
10 Producto mixto nulo
Dados los vectores 
, 
y 
,
demuestra que la relación
se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:
- Los tres vectores son colineales.
- Dos de los vectores son colineales.
- , y no son colineales pero sí coplanarios.
11 Volumen de un paralelepípedo
Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los
vectores 
, 
y 
. Las coordenadas
cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas
O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades
medidas en metros).
12 Volumen de un tetraedro
Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas
cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas
A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B
están definidas por los vectores libres 
y
(las coordenadas están en metros).
13 Distancia de un punto a un plano
Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre 
y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector 
. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).
14 Distancia mínima entre dos rectas
Hallar la menor distancia entre las rectas Δ(A,B) y Γ(C,D), y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas A(1, − 2, − 1) y B(4,0, − 3), para el caso de Δ, y C(1,2, − 1) y D(2, − 4, − 5), para la recta Γ.
15 Condiciones sobre producto escalar y vectorial
Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones
siendo 
, entonces 
;
pero si sólo se cumple una de ellas, entonces 
.
16 Derivada de un vector
Un punto recorre una circunferencia de radio R, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo α con el eje OX.
- Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
- Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
- Si el ángulo α depende del tiempo como α = ωt, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.
17 Recta soporte de un vector deslizante
Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor 
y su momento respecto al origen de coordenadas es 
. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.
