Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor $\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}$ y su momento respecto al origen de coordenadas es $\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$ . Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

2 Solución

Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera $P$ perteneciente a la recta soporte, el momento respecto al punto $O$ es

$\overrightarrow{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{a}$

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por $\vec{a}$

$\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O = \vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a})$

Queremos despejar el vector $\overrightarrow{OP}$ . Desarrollamos el doble producto vectorial

$\vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a}) = \left| \begin{array}{cc} \overrightarrow{OP} & \vec{a} \\ &\\ \vec{a}\cdot\overrightarrow{OP} & \vec{a}\cdot\vec{a} \end{array} \right| = |\vec{a}|^2\,\overrightarrow{OP} - (\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP})\,\vec{a}$

Seguimos sin poder despejar el vector $\overrightarrow{OP}$ pues aparece multiplicado escalarmente por $\vec{a}$ en el segundo término.

Sin embargo, el punto $P$ es un punto cualquiera de la recta. En particular, podemos escoger el punto de la recta $P *$ tal que el vector $\overrightarrow{OP^*}$ sea perpendicular a $\vec{a}$ . Para ese punto se tiene $\overrightarrow{OP^*}\cdot\vec{a} =0$ y podemos despejarlo de la expresión anterior