Ángulo que forman dos vectores (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Calcule el angulo que forman los vectores $\vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k}$ y $\vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}$ . Calcule también los cosenos directores de ambos vectores.

2 Solución

El producto escalar de dos vectores es

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta$

siendo $θ$ el ángulo que forman los vectores. Es decir

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$

Como están expresados en una base cartesiana es fácil hacer estas operaciones. El producto escalar es

$\vec{a}\cdot\vec{b} = -2 + 3 -2 = -1$

Los módulos de los vectores son

$\begin{array}{l} |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}} = \sqrt{ 4+9+1} = \sqrt{14}\\ \\ |\vec{b}| = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}} = \sqrt{ 1+1+4} = \sqrt{6} \end{array}$

El coseno del ángulo es

$\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = -0.109$

El ángulo es

$\theta = 1.68\,\mathrm{rad} = 96.3\,\mathrm{^{\circ}}$

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados. Para el vector $\vec{a}$ tenemos

$\begin{array}{l} \cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{a_x}{|\vec{a}|} = 0.535\\ \\ \cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{a_y}{|\vec{a}|} = 0.802\\ \\ \cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{|\vec{a}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{a_z}{|\vec{a}|} = -0.267 \end{array}$

Puede comprobarse que $cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z = 1.00$

Para el vector $\vec{b}$ tenemos

$\begin{array}{l} \cos\beta_x = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{b_x}{|\vec{b}|} = -0.408\\ \\ \cos\beta_y = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{b_y}{|\vec{b}|} = 0.408\\ \\ \cos\beta_z = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{k}}{|\vec{b}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{b_z}{|\vec{b}|} = 0.816 \end{array}$

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