Condiciones sobre producto escalar y vectorial (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

$\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}$
$\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}$

siendo $\vec{A} \neq 0$ , entonces $\vec{B}= \vec{C}$ ; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces $\vec{B} \neq \vec{C}$ .

2 Solución

De la primera condición tenemos que $\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}$ con ${\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0$ . Si ahora multiplicamos vectorialmente por $\vec{A}$ tenemos

$\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to \vec{A}\times\vec{D} = 0.$

Es decir, $\vec{D}$ es a la vez perpendicular y paralelo a $\vec{A}$ . Esto sólo puede ocurrir si $\vec{D}=0$ .

Si la segunda condición no se cumple, entonces $\vec{A}\times\vec{D} \neq 0$ , por lo que $\vec{D}$ es distinto de cero, con lo cual $\vec{B}\neq\vec{C}$ .

Condiciones sobre producto escalar y vectorial (G.I.A.)

De Laplace

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2 Solución

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