|
|
| (110 ediciones intermedias no se muestran.) |
| Línea 1: |
Línea 1: |
| - | ==Magnitudes escalares y vectoriales==
| + | [[Vectores en física. Definiciones y operaciones]] |
| - | ==Tipos de magnitudes==
| + | |
| - | Una '''magnitud física''' es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. Ejemplos: el tiempo (<math>t</math>), la velocidad
| + | |
| - | (<math>\vec{v}</math>), la masa (<math>m</math>), la temperatura (<math>T</math>), el campo eléctrico (<math>\vec{E}</math>).
| + | |
| | | | |
| - | Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:
| + | [[Vectores en física. Coordenadas y componentes]] |
| | | | |
| - | ;Magnitudes escalares: Las magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente determinadas mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un número real) seguida de una unidad (a excepción de las adimensionales). Así, por ejemplo, si decimos que la masa de un objeto es 3 kg, hemos aportado toda la información necesaria.
| |
| - |
| |
| - | ;Magnitudes vectoriales: Las magnitudes vectoriales son aquéllas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido de su actuación y su punto de aplicación. Así, al decir que sobre un objeto se aplica una fuerza de 3 N, no poseemos toda la información, ya que habrá que indicar hacia dónde se dirige dicha fuerza.
| |
| - |
| |
| - | :Gráficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flecha, siendo la longitud de esta flecha proporcional al módulo de la magnitud, y su dirección y sentido los de la magnitud vectorial.
| |
| - |
| |
| - | :Cuando el origen del vector está fijado (por ejemplo, una fuerza que se aplica en un punto concreto y no otro) se dice que tenemos un '''vector ligado'''. Si podemos cambiar el origen del vector sin que afecte al significado físico de éste (como ocurre, por ejemplo, con el peso de un objeto) se dice que tenemos un '''vector libre'''.
| |
| - |
| |
| - | {| class="bordeado"
| |
| - | |-
| |
| - | ! colspan="4" | Ejemplos de magnitudes
| |
| - | |-
| |
| - | ! colspan="2" | Escalares
| |
| - | ! colspan="2" | Vectoriales
| |
| - | |-
| |
| - | ! Magnitud
| |
| - | ! Símbolo
| |
| - | ! Magnitud
| |
| - | ! Símbolo
| |
| - | |-
| |
| - | | Masa
| |
| - | | <math>m</math>
| |
| - | | Posición
| |
| - | | <math>\vec{r}</math>
| |
| - | |-
| |
| - | | Tiempo
| |
| - | | <math>t</math>
| |
| - | | Velocidad
| |
| - | | <math>\vec{v}</math>
| |
| - | |-
| |
| - | | Temperatura
| |
| - | | <math>T</math>
| |
| - | | Fuerza
| |
| - | | <math>\vec{F}</math>
| |
| - | |-
| |
| - | | Energía
| |
| - | | <math>E</math>
| |
| - | | Campo eléctrico
| |
| - | | <math>\vec{E}</math>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Obsérvese la diferencia en la notación entre magnitudes escalares y vectoriales. Por la condición de la homogeneidad que se comenta más abajo, es muy importante tener claro e indicar qué magnitud es escalar y cuál vectorial. Por ello, adoptaremos el convenio de siempre escribir las magnitudes vectoriales con flecha (también es admisible el usar negrita)
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\vec{E} = \mathbf{E} \neq E</math></center>
| |
| - |
| |
| - | Además de las magnitudes escalares y vectoriales, existen otros tipos de magnitudes “de orden superior”, conocidas en general como magnitudes tensoriales.
| |
| - |
| |
| - | Una magnitud escalar se puede representar por un número (con unidades), lo que equivale a una matriz 1×1. Una magnitud vectorial puede ser representadas por una vector fila o uno columna, que equivale a una matriz 1×3 o 3×1. Una magnitud tensorial requiere matrices 3×3 o incluso entes de mayores dimensiones.
| |
| - |
| |
| - | Un ejemplo de magnitud tensorial son los “esfuerzos” en un sólido. Cuando se aplica una fuerza en una dirección resulta una deformación que puede ir en una dirección diferente. Por tanto necesitamos la información de la dirección y sentido de los dos, fuerza y deformación, por lo que no nos basta con una magnitud vectorial.
| |
| - |
| |
| - | En este curso las magnitudes tensoriales aparecen muy raramente.
| |
| - |
| |
| - | ===Principio de homogeneidad===
| |
| - | Una propiedad importante de las leyes físicas es que son homogéneas. Esto quiere decir que los dos miembros de una igualdad, o cada uno de los sumandos de una suma, deben ser del mismo tipo:
| |
| - |
| |
| - | * Una cantidad escalar será igual a otra cantidad escalar, por ejemplo
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\rho = \frac{M}{V}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | * Una cantidad vectorial será igual a otra cantidad vectorial
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | * pero '''nunca''' una cantidad escalar será igual a una vectorial. Por ejemplo, el momento de una fuerza es una cantidad cuya unidad SI es 1 N·m, y la energía cinética es una magnitud cuya unidad es 1 J = 1 N·m, pero aunque se miden en las mismas unidades, el momento de una fuerza nunca puede ser igual a la energía cinética, pues la primera es una magnitud vectorial y la segunda es una escalar
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\vec{r}\times\vec{F}\neq \frac{1}{2}mv^2</math></center>
| |
| - |
| |
| - | La energía cinética sí podrá ser igual al módulo del momento de la fuerza, que es una cantidad escalar
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\left|\vec{r}\times\vec{F}\right| = \frac{1}{2}mv^2</math></center>
| |
| - |
| |
| - | ==Operaciones con magnitudes escalares==
| |
| - | Las magnitudes escalares se comportan como números reales y por tanto admiten las operaciones básicas entre números: suma y multiplicación (con sus respectivas inversas y combinaciones entre ellas).
| |
| - |
| |
| - | La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de homogeneidad dimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo).
| |
| - |
| |
| - | En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. Así, por ejemplo la densidad de masa
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\rho = \frac{m}{V}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | pose dimensiones
| |
| - |
| |
| - | <center><math>[\rho]=\frac{[m]}{[V]} = \frac{M}{L^3}= M\cdot L^{-3}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | y se medirá en el SI en kg/m³.
| |
| - |
| |
| - | ==Operaciones con magnitudes vectoriales==
| |
| - | Las operaciones que pueden efectuarse entre magnitudes vectoriales entre sí y con magnitudes escalares, son más amplias y poseen propiedades específicas.
| |
| - |
| |
| - | ===Suma de vectores===
| |
| - | las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de homogeneidad dimensional (una fuerza puede sumarse con otra, pero no con una velocidad, por ejemplo).
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\vec{F}_T = \vec{F}_1+\vec{F}_2</math></center>
| |
| - |
| |
| - | Gráficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos formas equivalentes:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | * Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen (''regla del paralelogramo'').
| |
| - | * Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (''regla del triángulo'').
| |
| - |
| |
| - | {| class="bordeado"
| |
| - | |-
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-paralelogramo.png]]{{qquad}}
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-triangulo.png]]
| |
| - | |-
| |
| - | ! Regla del paralelogramo
| |
| - | ! Regla del triángulo
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Esta suma así definida presenta las siguientes '''propiedades algebraicas''':
| |
| - |
| |
| - | ;Conmutativa: El orden en que se suman los vectores es irrelevante
| |
| - | <center><math>\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}</math></center>
| |
| - | ;Asociativa: En una suma de más de dos vectores, la suma se puede efectuar agrupándolos arbitrariamente y por ello se pueden omitir los paréntesis
| |
| - | <center>\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}</center>
| |
| - | ;Elemento neutro: Existe un vector de módulo nulo, <math>\vec{0}</math>, tal que
| |
| - | <center>\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}</center>
| |
| - | ;Elemento opuesto: Para cada vector no nulo, <math>\vec{a}</math> existe uno con el mismo módulo y dirección, y con sentido el opuesto, <math>-\vec{a}</math>, tal que
| |
| - | <center><math>\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | {| class="bordeado"
| |
| - | |-
| |
| - | ! Conmutativa
| |
| - | ! Asociativa
| |
| - | |-
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-conmutativa.png]]
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-asociativa.png]]
| |
| - | |-
| |
| - | ! Elemento neutro
| |
| - | ! Elemento simétrico
| |
| - | |-
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-e-neutro.png]]
| |
| - | | [[Archivo:suma-vectores-e-simetrico.png]]
| |
| - | |}
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar <math>n</math> vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.
| |
| - |
| |
| - | <center>[[Archivo:suma-cuatro-vectores.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:diferencia-vectores.png]]</center>
| |
| - |
| |
| - | La operación suma, junto a la existencia de elemento opuesto, permite definir la '''resta o diferencia de vectores''':
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)</math></center>
| |
| - |
| |
| - | [[Archivo:posicion-relativa.png|right]]
| |
| - |
| |
| - | En particular, para los vectores de posición, dados dos puntos P y Q, la posición relativa de Q respecto a P es
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\vec{r}_Q-\vec{r}_P</math></center>
| |
| - |
| |
| - | o, equivalentemente, el vector que va de O a Q es la suma vectorial del que va de O a P más el que va de P a Q:
| |
| - |
| |
| - | <center><math>\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}</math></center>
| |
| - |
| |
| - | ===Producto por un escalar===
| |
| - | ===Producto escalar===
| |
| - | ===Producto vectorial===
| |
| - |
| |
| - | ==Sistemas de referencia==
| |
| - | ===Ejes===
| |
| - | ===Bases vectoriales===
| |
| - | ===Componentes de un vector===
| |
| - | ===Expresión de las operaciones===
| |
| | | | |
| | + | ==Problemas== |
| | + | {{ac|Problemas de herramientas matemáticas (GIE)}} |
| | + | <categorytree mode=pages depth="2">Problemas de herramientas matemáticas (GIE)</categorytree> |
| | [[Categoría:Física I (GIE)]] | | [[Categoría:Física I (GIE)]] |
| | + | [[Categoría:Herramientas matemáticas (GIE)]] |
