Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)
De Laplace
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Revisión de 16:29 7 oct 2019
Contenido |
1 Arco capaz
Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores 
y
son ortogonales.
Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que 
. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.
2 Coseno y seno de una diferencia
A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.
3 Teoremas del seno y del coseno
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.
4 Construcción de una base
Dados los vectores
Construya una base ortonormal dextrógira 
, tal que
- El primer vector,
, vaya en la dirección y sentido de 
- El segundo,
, esté contenido en el plano definido por y 
y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de ) que el vector .
- El tercero,
, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
- Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
- ¿Cuál es su expresión en la base
- ¿Cuál es su expresión en la base
5 Ejemplo de operaciones con dos vectores
Dados los vectores
- ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
- ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
- Escriba como suma de dos vectores, uno paralelo a y otro ortogonal a él.
6 Ángulo entre diagonales
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.
7 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
Se tiene un vector conocido, no nulo, 
y uno que se desea determinar, 
. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por
Determine el valor de . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?
