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Ecuaciones de Maxwell y teorema de Poynting

De Laplace

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La ley de Ampère, tal como se escribe en magnetostática, es incompatible con la ley de conservación de la carga en situaciones variables en el tiempo. Para completarla, es necesario introducir un nuevo término, denominado densidad de corriente de desplazamiento
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La condición de salto para el campo magnético, en cambio, no se ve modificada
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La ley de Ampère-Maxwell predice que los campos eléctricos variables en el tiempo son fuente de campos magnéticos. Combinada con la ley de
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Faraday, que predice el efecto inverso, se llega a que son posibles las ondas electromagnéticas.
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Como consecuencia los campos eléctrico y magnético se convierten en inseparables y pueden verse como componentes de un solo campo, denominado ''campo electromagnético''.
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==Ecuaciones de Maxwell==
==Ecuaciones de Maxwell==
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==La fuerza de Lorentz==
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Con la introducción del término de la corriente de desplazamiento, el conjunto de cuatro ecuaciones para el campo electromagnético,  conocidas como ''ecuaciones de Maxwell'', junto con sus correspondientes condiciones de salto es el siguiente:
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A su vez, se denominan ecuaciones ''homogéneas'' a la ley de Faraday y la de Gauss para el campo magnético, e '''inhomogéneas''' (porque aparecen las fuentes) a la de Gauss y la de Ampère-Maxwell.
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Por último, dado que estas ecuaciones incluyen derivadas respecto al tiempo, deben ser suplementadas con las condiciones iniciales correspondientes.
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Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los campos electromagnéticos producidos por densidades de carga y de corriente.
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==Ley de Lorentz==
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Para describir la acción de los campos electromagnéticos sobre la materia, hay que añadir a las ecuaciones de Maxwell la ley para la
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==Ecuaciones de Maxwell en la materia==
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La expresión anterior de las ecuaciones de Maxwell, aun siendo general, incluye términos que a menudo son desconocidos ''a priori''. La
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densidad de carga <math>\rho</math> incluye la carga de polarización, mientras que la densidad de corriente <math>\mathbf{J}</math> incluye tanto la densidad de corriente de magnetización como la de polarización
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<center><math>\rho_p =-\nabla{\cdot}\mathbf{P}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{J}_p = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}
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Estas densidades pueden hacerse desaparecer de las ecuaciones definiendo los campos auxiliares <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{H}</math>
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<center><math>\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}</math></center>
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De esta forma, las ecuaciones de Maxwell se expresan en una forma más reducida
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El subíndice <math>l</math> indica que se trata de densidades libres. A menudo se omite este subíndice y es la forma de las ecuaciones la que indica si se habla de densidad de carga libre o total.
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En medios materiales se denomina densidad de corriente de desplazamiento al vector
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aunque incluye tanto la corriente de desplazamiento en el vacío como la corriente de polarización.
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En esta versión las ecuaciones de Maxwell no son completas, sino que deben incluirse relaciones constitutivas que liguen unos campos con
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<center><math>\mathbf{D} = \mathbf{D}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{J} = \mathbf{J}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,</math></center>
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==Energía en un campo electromagnético. Teorema de Poynting==
==Energía en un campo electromagnético. Teorema de Poynting==
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==Expresión de las ecuaciones de Maxwell en función de los potenciales==
==Expresión de las ecuaciones de Maxwell en función de los potenciales==
==Problemas==
==Problemas==
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Artículo principal: [[Problemas de Ecuaciones de Maxwell]]
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{{ac|Problemas de Ecuaciones de Maxwell}}
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# Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio <math>b</math> y separadas una distancia <math>a</math> (<math>a\ll b</math>); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una tensión <math>V_0\cos\omega t</math>... ([[Campos en un condensador en CA|más]])
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<categorytree mode=pages depth="2">Problemas de ecuaciones de Maxwell</categorytree>
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# Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.... ([[Nube de carga en expansión|más]])
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# El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math>, y permeabilidad magnética <math>\mu_0</math>. El radio de las placas es <math>b</math>, y la distancia entre ellas es <math>a</math> ($a\ll b$). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión <math>V(t)</math>. ([[Teorema de Poynting para un condensador|Más]])
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# Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, y una superficie cilíndrica exterior, de radio <math>b</math>, también perfectamente conductora. Los cilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje... ([[Teorema de Poynting en un cable coaxial|más]])
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# Los campos eléctrico y magnético en el interior de un tubo metálico, de sección cuadrada (que se extiende entre <math>-a<x<a</math> y <math>-a<y<a</math>, e indefinidamente a lo largo del eje $z$) vienen dado por las expresiones... ([[Cálculo de fuentes del campo electromagnético|más]])
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[[Categoría:Ecuaciones de Maxwell]]
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[[Categoría:Ecuaciones de Maxwell|0]]
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[[Categoría:Campos Electromagnéticos]]
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[[Categoría:Electrodinámica|20]]
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[[Categoría:Campos Electromagnéticos|90]]

última version al 21:07 22 abr 2011

Contenido

1 Corriente de desplazamiento

La ley de Ampère, tal como se escribe en magnetostática, es incompatible con la ley de conservación de la carga en situaciones variables en el tiempo. Para completarla, es necesario introducir un nuevo término, denominado densidad de corriente de desplazamiento

\mathbf{J}_d = \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

de forma que la ley de Ampère pasa a ser la ley de Ampère-Maxwell

\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J}+\mathbf{J}_d\right)= \mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

con validez general. En forma integral, esta ecuación indica que la circulación del campo magnético debe incluir un término asociado al flujo eléctrico,

\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \mu_0 I +\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int_S \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}

La condición de salto para el campo magnético, en cambio, no se ve modificada

\mathbf{n}\times[\mathbf{B}] = \mu_0\mathbf{K}

La ley de Ampère-Maxwell predice que los campos eléctricos variables en el tiempo son fuente de campos magnéticos. Combinada con la ley de Faraday, que predice el efecto inverso, se llega a que son posibles las ondas electromagnéticas.

Como consecuencia los campos eléctrico y magnético se convierten en inseparables y pueden verse como componentes de un solo campo, denominado campo electromagnético.

2 Ecuaciones de Maxwell

Artículo completo: Ecuaciones de Maxwell

Con la introducción del término de la corriente de desplazamiento, el conjunto de cuatro ecuaciones para el campo electromagnético, conocidas como ecuaciones de Maxwell, junto con sus correspondientes condiciones de salto es el siguiente:

Nombre Ecuación Condición
Ley de Gauss \nabla{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{E}]= \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}
Ley de Faraday \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}
Ley de Gauss para el campo magnético \nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0 \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0\,
Ley de Ampère-Maxwell \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \mathbf{n}\times[\mathbf{B}] = \mu_0\mathbf{K}

A su vez, se denominan ecuaciones homogéneas a la ley de Faraday y la de Gauss para el campo magnético, e inhomogéneas (porque aparecen las fuentes) a la de Gauss y la de Ampère-Maxwell.

Por último, dado que estas ecuaciones incluyen derivadas respecto al tiempo, deben ser suplementadas con las condiciones iniciales correspondientes.

Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los campos electromagnéticos producidos por densidades de carga y de corriente.

3 Ley de Lorentz

Para describir la acción de los campos electromagnéticos sobre la materia, hay que añadir a las ecuaciones de Maxwell la ley para la fuerza.

Para una carga puntual,

\mathbf{F} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})

Esta ley se extiende a una distribución de carga y de corrientes como

\mathbf{F} = \int (\rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau

4 Ecuaciones de Maxwell en la materia

La expresión anterior de las ecuaciones de Maxwell, aun siendo general, incluye términos que a menudo son desconocidos a priori. La densidad de carga ρ incluye la carga de polarización, mientras que la densidad de corriente \mathbf{J} incluye tanto la densidad de corriente de magnetización como la de polarización

\rho_p =-\nabla{\cdot}\mathbf{P}        \mathbf{J}_p = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}        \mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}

Estas densidades pueden hacerse desaparecer de las ecuaciones definiendo los campos auxiliares \mathbf{D} y \mathbf{H}

\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}        \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}

De esta forma, las ecuaciones de Maxwell se expresan en una forma más reducida


El subíndice l indica que se trata de densidades libres. A menudo se omite este subíndice y es la forma de las ecuaciones la que indica si se habla de densidad de carga libre o total.

En medios materiales se denomina densidad de corriente de desplazamiento al vector

\mathbf{J}_d = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

aunque incluye tanto la corriente de desplazamiento en el vacío como la corriente de polarización.

En esta versión las ecuaciones de Maxwell no son completas, sino que deben incluirse relaciones constitutivas que liguen unos campos con otros

\mathbf{D} = \mathbf{D}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,        \mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,        \mathbf{J} = \mathbf{J}(\mathbf{E},\mathbf{B})\,

5 Energía en un campo electromagnético. Teorema de Poynting

6 Expresión de las ecuaciones de Maxwell en función de los potenciales

7 Problemas

Artículo completo: Problemas de Ecuaciones de Maxwell
Problemas de ecuaciones de Maxwell
 Problemas de Ecuaciones de Maxwell
 Campos creados por superficie cilíndríca cargada en rotación
 Campos eléctricos y magnéticos debidos a un tubo de corriente
 Campos en un condensador en CA
 Energía electromagnética en una onda estacionaria
 Energía electromagnética en una onda viajera
 Flujo de energía alrededor de un dipolo magnético cargado
 Flujo de energía en un sistema de corriente estacionaria
 Fuentes y fuerza de un posible campo electromagnético
 Nube de carga de radio variable
 Teorema de Poynting en un cable coaxial
 Teorema de Poynting para un condensador
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