Campos creados por superficie cilíndríca cargada en rotación

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
3 Anexo: evaluación del Teorema de Poynting en el sistema

1 Enunciado

Una superficie cilíndrica de radio $a$ y longitud indefinida está cargada eléctricamente con una densidad superficial uniforme $\ \sigma_0$ . La superficie gira alrededor de su eje de simetría (que tomaremos como eje $\ Z$ ) con velocidad angular $\ \omega(t)$ , de manera que desde un sistema de referencia en reposo se observa una densidad superficial de corriente en el cilindro, cuya expresión en coordenadas cilíndricas es,

$\mathbf{K}(\mathbf{r}\mathrm{,}t)\big\rfloor_{\rho=a}=a\sigma_0\omega(t)\mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

Obtenga la expresión de los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio cuando la superficie cilíndrica gira con velocidad angular $\ \omega(t)=\omega_0$ , constante en el tiempo.
A partir de un cierto instante $T\$ la velocidad angular pasa a ser una función del tiempo $\omega(t) = (\omega_0/T)\ t$ . Obtenga la expresión del campo eléctrico inducido $\mathbf{E}_\mathrm{ind} = E_\varphi (\rho) \mathbf{u}_\varphi$ , en el interior del cilindro y en puntos exteriores, próximos a él.
¿Cuáles son la dirección, el sentido y la magnitud del flujo de energía electromagnética por unidad de superficie (vector de Poynting) dentro y fuera del cilindro, antes y después del instante $T\$ ?

2 Solución

El objetivo de este ejercicio es la obtención del campo electromagnético creado por una distribución de carga eléctrica y la correspondiente corriente eléctrica equivalente que se observan en el sistema en movimiento descrito en el enunciado. Estas distribuciones se localizan en un medio material de geometría cilíndrica y espesor despreciable, que modelaremos como la superficie cilíndrica $Σ$ . Identificando su eje de simetría con el eje $O Z$ , se tendrá que la ecuación en coordenadas cilíndricas de dicha superficie es $Σ:ρ = a$ . Por otra parte, como en el enunciado no se indica la existencia de otros medios materiales con propiedades dieléctricas y/o magnéticas, se tendrá que $Σ$ separa sendas regiones vacías.

Como se sabe, la relación entre las distribuciones de carga y corriente y los campos electromagnéticos viene dada por la versión local de las ecuaciones de Maxwell. En los puntos de las regiones vacías (es decir, para $\rho\neq a$ ), donde los campos son continuos y nulas las densidades volumétricas de corriente y carga $\rho_e\$ y $\mathbf{J}\$ , se cumplirá:

$\begin{array}{lll}\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_0}\overbrace{\rho_e(\mathbf{r};t)\bigg\rfloor_{\rho\neq a}}^{=0} & &\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0 \\ \\ \displaystyle\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} & &\qquad\displaystyle\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\underbrace{\mathbf{J}(\mathbf{r};t)\rfloor_{\rho\neq a}}_{=\mathbf{0}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \end{array}$

En los puntos de la superficie $\Sigma:\rho=a\$ las ecuaciones de Maxwell no se expresan como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, sino en términos de las condiciones de salto o discontinuidad que verifican los campos eléctrico y magnético:

$\begin{array}{ll} \displaystyle\mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sigma_e(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a} &\qquad \mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=0\\ \\ \mathbf{n}\times\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\mathbf{0} &\qquad \mathbf{n}\times\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mu_0\mathbf{K}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a} \end{array}$

siendo $\mathbf{n}=\mathbf{u}_\rho$ el vector unitario normal a $\Sigma:\rho=a\$ , y

$\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\mathrm{;}\qquad\qquad\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}$

Con la ayuda de los dos conjuntos de ecuaciones anteriores podemos realizar una discusión del problema que nos proporcione una primera aproximación cualitativa a su solución. La densidad superficial de carga eléctrica en

Σ

es la única distribución de fuentes escalares del campo eléctrico. Nótese que, por ser ésta una distribución uniforme, un observador en reposo medirá en cada punto la misma densidad de carga en todo instante, independientemente del estado de movimiento de la superficie cargada; es decir, es uniforme y constante en el tiempo: $\sigma_e(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a}=\sigma_0$

Por otra parte, la uniformidad de la distribución de la carga en $\Sigma\$ da lugar a que al moverse ésta, el módulo de la densidad superficial de corriente equivalente sea también uniforme. Sin embargo, para el observador en reposo, su dependencia temporal estará condicionada por el régimen de rotación $\omega (t)\$ de dicha superficie cilíndrica:

$\mathbf{K}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a}=a\sigma_0\omega(t)\mathbf{u}_\varphi=K(t)\mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

Esta densidad de corriente produce una discontinuidad en las componentes del campo magnético que son tangenciales a la superficie cilíndrica, actuando así como fuente vectorial del dicho campo. Como, en general, no es una corriente estacionaria, pues puede ser función del tiempo, creará un campo magnético también variable. Entonces, en virtud de la ley de Faraday-Maxwell, el campo eléctrico tendría una componente no irrotacional “inducida” por la variación instantánea del campo magnético y que, en el caso general sería, a su vez función del tiempo. Esto tendría como consecuencia la posible existencia de corrientes de desplazamiento que, según la ley de Ampère-Maxwell serían fuentes vectoriales de campo magnético.

Comprobemos qué ocurre en cada una de las situaciones concretas planteadas en los apartados (1) y (2) del enunciado.

2.1 Caso de rotación uniforme

La superficie cilíndrica con densidad superficial uniforme de carga eléctrica $\sigma_0\$ gira alrededor de su eje con velocidad angular constante, $\omega(t)=\omega_0\ \!$ , de manera que el observador en reposo mide en $\rho=a\ \!$ una densidad superficial de corriente,

$\mathbf{K}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a}=a\sigma_0\omega_0\mathbf{u}_\varphi=K_0\mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

que es constante en el tiempo y, por tanto, estacionaria. Teniendo en cuenta que no hay otras distribuciones de corriente, reales o virtuales, y asumiendo la hipótesis de que tampoco va a haber corrientes de desplazamiento, es decir, que

$\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mathbf{0}\mathrm{,}$

se tendrá que sólo la anterior densidad superficial de corriente es fuente de campo magnético. Obsérvese que para que dicha hipótesis se verifique en sentido estricto, el campo eléctrico debe ser constante en el tiempo. No obstante, si la variación instantánea de este campo no es muy rápida, la correspondiente corriente de desplazamiento puede considerarse despreciable frente a las corrientes eléctricas debidas al movimiento de carga eléctrica. Más adelante comprobaremos si la hipótesis introducida se verifica estrictamente o debe ser considerada sólo una aproximación válida para campos lentamente variables.

Una consecuencia de hipótetica ausencia de corrientes de desplazamiento es que desacopla los problemas eléctrico y magnético; es decir, permite plantear ecuaciones separadas para cada uno de estos campos.

2.1.1 Campo magnético

El problema del campo magnético queda formulado matemáticamente en términos de las siguientes ecuaciones y condiciones en la superficie cilíndrica $\Sigma\ \!$ :

$\begin{array}{l} \displaystyle\nabla\cdot\mathbf{B}=0\mathrm{,} \qquad \nabla\times\mathbf{B}=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\quad\mathrm{para}\quad\rho\neq a\\ \\ \mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mathbf{u}_{\rho}\cdot\bigg[\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=0 \\ \\ \mathbf{n}\times\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mu_0 K_0\ \mathbf{u}_\varphi \end{array}$

Puede comprobarse que este conjunto de ecuaciones es el mismo que caracteriza el problema del campo magnético creado por un solenoide cilíndrico de radio $a\ \!$ y longitud indefinida, recorrido por una corriente eléctrica estacionaria que se describe en términos de una densidad superficial de corriente $\mathbf{K}_0=K_0\ \mathbf{u}_\varphi$ . En consecuencia, las soluciones a ambos problemas van a ser idénticas.

Por tanto, la densidad de carga uniforme $\sigma_0\ \!$ distribuida en la superficie cilíndrica $\Sigma\ \!$ , que gira con velocidad angular constante $\omega_0\ \!$ , va a crear un campo magnético uniforme y constante en los puntos interiores a la superficie:

$\mathbf{B}(\mathbf{r};t)=\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases}\mu_0K_0\mathbf{u}_z=\mu_0a\sigma_0\omega_0\mathbf{u}_z\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \mathbf{0} \mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}$

por lo que se tendrá... $\ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\mathbf{0}$ , en todo instante de tiempo.

2.1.2 Campo eléctrico

El hecho de que dicho campo magnético sea constante en el tiempo, tiene como consecuencia directa la irrotacionalidad del campo eléctrico existente y, por consiguiente que sus únicas fuentes sean la densidad superficial de carga en $\Sigma\ \!$ :

$\begin{array}{l} \displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=0\mathrm{,} \qquad \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\quad\mathrm{para}\quad\rho\neq a\\ \\ \displaystyle\mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}= \mathbf{u}_{\rho}\cdot\bigg[\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} \\ \\ \mathbf{n}\times\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mathbf{0}\end{array}$

Como ya se discutió al principio, aunque esta superficie esté girando, desde el sistema de referencia en reposo se observa una densidad de carga constante $\sigma_0\ \!$ en cada punto, debido a la uniformidad de la distribución.

Por otra parte, la irrotacialidad del campo eléctrico asegura la existencia de un potencial escalar -que, en principio, podría ser función del tiempo- del cuál deriva el campo eléctrico:

$\exists \, V(\mathbf{r};t)\mathrm{,}\quad\mathrm{tal}\;\mathrm{que}\quad \mathbf{E}(\mathbf{r};t)=-\nabla V(\mathbf{r};t)$

Obviamente, las fuentes de este potencial son las mismas que las del campo eléctrico irrotacional; es decir, la densidad superficial de carga en $\Sigma\ \!$ , y como ésta es constante en el tiempo, dicho campo escalar será un potencial electrostático:

$V(\mathbf{r};t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\ \int_{\Sigma}\!\frac{\sigma_e(\mathbf{r^\prime};t)\ \mathrm{d}S^\prime}{|\mathbf{r}-\mathbf{r^\prime}|}=\frac{\sigma_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \int_{\Sigma}\!\frac{\ \mathrm{d}S^\prime}{|\mathbf{r}-\mathbf{r^\prime}|}=\phi(\mathbf{r})$

Dada la simetría cilíndrica de la distribución y la longitud indefinida de la superficie $\Sigma\ \!$ , podemos considerar que lejos de los extremos de ésta, el potencial en un punto sólo va a ser función de la distancia $\rho\ \!$ al eje $\ Z$ . En consecuencia, el campo eléctrico estático que de él deriva sólo tendrá componente en la dirección de $\mathbf{u}_\rho\ \!$ :

$\phi(\mathbf{r})=\phi(\rho)$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}(\mathbf{r};t)=-\nabla \phi(\mathbf{r})=E(\rho)\mathbf{u}_\rho =\mathbf{E}(\mathbf{r})$

En las regiones vacías, $\rho\neq a$ , donde los campos son continuos, la forma local de ley de Gauss establece que este campo eléctrico debe satisfacer la ecuación diferencial,

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\bigg[\rho E(\rho)\bigg]=0$ $\Rightarrow$ $\rho E(\rho)=C\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\quad\mathrm{si}\quad\rho\neq 0$

ya que la anterior ecuación diferencial presenta un singularidad en $\rho=0\ \!$ . Por otro lado, la solución general verifica el principio de proximidad que establece que en puntos muy alejados de la superficie cargada ( $\rho\longrightarrow\infty$ ), el campo eléctrico tiende a anularse, para cualquier valor real de la constante $C\ \!$ . Y aunque la ecuación es la misma tanto fuera como dentro de la superficie $\Sigma\ \!$ , las soluciones en estas regiones deben ser distintas para dar cuenta de la discontinuidad que se verifica en $\rho = a\ \!$ :

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\frac{C_1}{\rho}\mathbf{u}_\rho\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad 0<\rho<a\\ \\ \displaystyle\frac{C_2}{\rho}\mathbf{u}_\rho\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$

Para determinar el valor real (y finito) de la constante $C_1\ \!$ podemos seguir un razonamiento puramente cualitativo: obsérvese que, conforme nos aproximemos al eje $\rho=0\ \!$ , el campo irá creciendo y tendiendo a infinito cuando $\rho\longrightarrow 0$ . Pero esto sólo ocurre si en dicho eje hay una distribución lineal de carga eléctrica y/o cargas puntuales. Como no se da tal caso, ya que las únicas cargas del sistema están localizadas en $\rho=a\ \!$ , la única posibilidad es que el valor de aquella constante sea $C_1=0\ \!$ .

También puede calcularse $C_1\ \!$ mediante la aplicación de la forma integral de la ley de Gauss en un recinto finito:

$\int_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\tau}$

Consideremos un cilindro $\tau\ \!$ , coaxial con $Σ$ , de altura $h\ \!$ y radio $\rho_0<a\ \!$ . El flujo a través de su superficie $\partial\tau\ \!$ será proporcional a la carga eléctrica encerrada en su interior. Como el cilindro gaussiano $\tau\ \!$ es interior a la superficie $\Sigma\ \!$ , dicha carga será nula, de manera que...

$\left.\begin{array}{ll}\displaystyle\displaystyle\int_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_0^h\!\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\frac{C_1}{\rho_0}\rho_0\ \mathrm{d}\varphi=2\pi h C_1 \\ \\ \displaystyle Q\big\rfloor_{\tau}=0 \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle C_1=0$

y, por consiguiente, el campo eléctrico para $0<\rho<a\ \!$ también va a ser nulo. Además, este resultado resuelve la indefinición en $\rho=0\ \;$ : como en el interior de $\Sigma\ \!$ no hay carga alguna, el campo eléctrico debe ser continuo en todos los puntos de dicha región, incluyendo el eje, por lo que allí también se anulará.

La constante $C_2\ \!$ correspondiente a la expresión del campo en el exterior de $\Sigma\ \!$ se obtiene a partir de la condición de salto que ha de verficicar la componente normal en dicha superficie:

$\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}=\bigg[\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\rho=a^+}-\overbrace{\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\rho=a^-}}^{=\mathbf{0}}\bigg]\cdot\mathbf{u}_{\rho}=\frac{C_2}{a}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle C_2=\frac{a\sigma_0}{\varepsilon_0}$

En resumen, la superficie $\Sigma\ \!$ , cargada con una densidad superficial uniforme $\sigma_0\ \!$ y que gira alrededor de su eje con velocidad angular constante, genera el campo elétrico dado por la siguiente expresión:

$\mathbf{E}(\mathbf{r};t)=\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\mathbf{0}\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \displaystyle\frac{a\sigma_0}{\varepsilon_0 \rho}\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}$

Es decir, sólo en el exterior hay campo eléctrico, siendo éste estático, por lo que se verificará de manera rigurosa la hipótesis de ausencia de corrientes de desplazamiento que se introdujo al principio de éste apartado. Esto significa que las soluciones estáticas obtenidas, tanto para el campo magnético como para el eléctrico, son rigurosamente válidas (admitiendo, por supuesto, la longitud indefinida de la superficie cilíndrica $\Sigma\ \!$ ).

2.2 Caso de rotación uniformemente acelerada

Consideremos ahora el sistema a partir del instante $\ t=T$ , cuando la superficie cilíndrica $\ \Sigma$ gira en torno a su eje con un movimiento de rotación uniformemente acelerado, dado por la ley horaria

$\ \omega(t)=\frac{\omega_0}{T}\ t$

Como ya se ha discutido anteriormente, al estar la carga eléctrica uniformemente distribuida en $\ \Sigma$ , desde el sistema de referencia inercial (en reposo) se medirá una la densidad superficial $\ \sigma_0$ . Sin embargo, la densidad superficial de corriente eléctrica observada ya no va a ser estacionaria:

$\mathbf{K}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a}=\frac{a\sigma_0\omega_0}{T}\ t\ \mathbf{u}_\varphi=K (t)\mathbf{u}_\varphi(\varphi)$

Nótese que ahora el sistema presenta la situación general descrita en la introducción de la solución: el campo magnético va a ser variable en el tiempo y, en consecuencia, fuente vectorial de campo eléctrico que, en general, también será variable. Es posible, por tanto, la existencia de corrientes de desplazamiento estrictamente no nulas que serían, a su vez, fuentes de campo magnético. Esto daría lugar al acoplamiento de los campos, de manera que la solución del problema electromagnético se obtendría resolviendo la ecuación de onda.

Sin embargo, tal se discutión en el apartado anterior, podemos introducir la hipótesis de que el campo eléctrico va a cambiar lo suficientemente despacio como para que las corrientes de desplazamiento sean poco significativas frente a las asociadas al movimiento de la carga. Obtendremos así una primera aproximación a la solución del problema. Y si ésta no satisface la hipótesis introducida podemos utilizarla para, mediante un procedimiento iterativo, obtener sucesivas correcciones que nos permita mejorar la precisión de la solución. Luego, consideremos de nuevo que, en primera aproximación, las corrientes de desplazamiento son despreciables:

$\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mathbf{0}\mathrm{,}$

de manera que los problemas magnético y eléctrico están desacoplados.

2.2.1 Campo magnético

Obsérvese que las ecuaciones que formulan ahora el problema magnético en cada instante de tiempo, son idénticas al caso de rotación uniforme.

$\begin{array}{l} \displaystyle\nabla\cdot\mathbf{B}=0\mathrm{,} \qquad \nabla\times\mathbf{B}=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\quad\mathrm{para}\quad\rho\neq a\\ \\ \mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mathbf{u}_{\rho}\cdot\bigg[\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=0 \\ \\ \mathbf{n}\times\big[\mathbf{B}\big]_{\Sigma}=\mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{B}(\mathbf{r};t)\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mu_0 K (t)\ \mathbf{u}_\varphi \end{array}$

Por tanto, la solución instantánea al problema debe ser la misma que en el caso de corriente estacionaria. Es decir, tendremos de nuevo el campo magnético creado por un solenoide cilíndrico, cuya intensidad será función del tiempo según la ley de variación de la densidad de corriente:

$\mathbf{B}(\mathbf{r};t)=\begin{cases}\displaystyle\mu_0K(t)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0a\sigma_0\omega_0}{T}\ t\ \mathbf{u}_z\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \mathbf{0} \mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}$

Es decir, el campo mangnético varía de manera uniforme:

$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0a\sigma_0\omega_0}{T}\ \mathbf{u}_z=\frac{\mu_0K_0}{T}\ \mathbf{u}_z\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \mathbf{0} \mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}$

2.2.2 Campo eléctrico

La consecuencia del anterior resultado es que el campo eléctrico va a tener una componente no irrotacional. Si lo descomponemos en sendas partes irrotacional y solenoidal,

$\mathbf{E}(\mathbf{r};t)=\mathbf{E}_\mathrm{irr}+\mathbf{E}_\mathrm{sol}$ , tales que $\left\{\begin{array}{ll}\nabla\times\mathbf{E}_\mathrm{irr}=\mathbf{0}\mathrm{;}&\quad \mathbf{n}\times\big[\mathbf{E}_\mathrm{irr}\big]_\Sigma=\mathbf{0}\\ \\ \nabla\cdot\mathbf{E}_\mathrm{sol}=0\mathrm{;}&\quad \mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{E}_\mathrm{sol}\big]_\Sigma=0\end{array}\right.$

se tendrá que las cargas eléctricas son las únicas fuentes de la primera, mientras que la componente solenoidal es la inducida por la variación en el tiempo del campo magnético.

Si tenemos en cuenta que la única distribución de carga eléctrica es la densidad superficial $\ \sigma_0$ , las ecuaciones y condiciones de salto para la componente irrotacional del campo eléctrico son:

$\begin{array}{l} \displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}_\mathrm{irr}=\nabla\cdot\mathbf{E}=0\mathrm{,} \qquad \nabla\times\mathbf{E}_\mathrm{irr}=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\quad\mathrm{para}\quad\rho\neq a\\ \\ \displaystyle \mathbf{u}_{\rho}\cdot\bigg[\mathbf{E}_\mathrm{irr}\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}_\mathrm{irr}\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} \\ \\ \mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{E}_\mathrm{irr}\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}_\mathrm{irr}\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mathbf{0}\end{array}$

Es decir, la componente irrotacional del campo verifica exactamente las mismas ecuaciones y condiciones que el campo eléctrico del apartado anterior, por lo que la solución será idéntica:

$\mathbf{E}_\mathrm{irr}(\mathbf{r};t)=\mathbf{E}_\mathrm{irr}(\mathbf{r})=\begin{cases}\mathbf{0}\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \displaystyle\frac{a\sigma_0}{\varepsilon_0 \rho}\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$

Por su parte, la componente solenoidal verificará las siguientes ecuaciones y condiciones en la superficie $\ \Sigma$ :

$\begin{array}{l} \displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}_\mathrm{sol}=0\mathrm{,} \qquad \nabla\times\mathbf{E}_\mathrm{sol}=\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\mathrm{,}\;\mathrm{cte.} \mathrm{;}\qquad\quad\mathrm{para}\quad\rho\neq a\\ \\ \displaystyle \mathbf{u}_{\rho}\cdot\bigg[\mathbf{E}_\mathrm{sol}\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}_\mathrm{sol}\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=0 \\ \\ \mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{E}_\mathrm{sol}\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}_\mathrm{sol}\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\mathbf{n}\times\big[\mathbf{E}\big]_{\Sigma}=\mathbf{0}\end{array}$

Nótese que el conjunto de ecuaciones y relaciones que verifica $\ \mathbf{E}_\mathrm{sol}$ no aparece la variable tiempo de forma explícita, ya que la derivada parcial con respecto al tiempo del campo magnético es nula fuera de la superficie cilíndrica, y un vector constante en los puntos del interior. En consecuencia, admitirá una solución estacionaria, como el campo inducido propuesto en el enunciado. Sea

$\mathbf{E}_\mathrm{sol}(\mathbf{r};t)=\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r}) = E_\varphi (\rho) \mathbf{u}_\varphi$

Obsérvese que este campo verifica las condiciones necesarias de divergencia nula en todo el espacio vacío y continuidad de las componente normales a la superficie cilíndrica (ya que és tangente a ella). Además, su rotacional sólo tiene componente en la dirección del unitario $\ \mathbf{u}_z$ siendo, por tanto, paralelo a la variación instantánea de $\ \mathbf{B}$ en el interior del solenoide.

Para obtener la forma de dicho campo, le exigimos que verifique la ecuación diferencial,

$\nabla\times\mathbf{E}_\mathrm{ind}=\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\bigg[\rho E_\varphi (\rho)\bigg]\ \mathbf{u}_z=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\bigg[\rho E_\varphi (\rho)\bigg]=\begin{cases}\displaystyle -\frac{\mu_0K_0}{T}\ \rho\mathrm{;} & \quad\mathrm{para}\quad 0<\rho<a\\ \\ 0\mathrm{;}&\quad\mathrm{para}\quad a<\rho\end{cases}$

cuya solución general será de la forma...

$\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\left(-\frac{\mu_0K_0}{2T}\ \rho+\frac{A}{\rho}\right)\ \mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad 0<\rho<a\\ \\ \displaystyle\frac{B}{\rho}\mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$

Para determinar la constante $\ A$ exigiremos que la componente solenoidal del campo eléctrico en el interior del cilindro verifique la ley de Faraday en su forma integral; es decir,

$\oint_{\partial S}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_S\qquad\Longrightarrow\qquad\oint_{\partial S}\!\mathbf{E}_\mathrm{ind}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-\int_S\!\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

Para ello, consideraremos un disco $\ S$ de radio $\ \rho_0<a$ , con su centro en el eje $\ Z$ y contenido en un plano perpendicular a dicho eje, de manera que

$\mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_{\partial S}=\rho_0\mathrm{d}\varphi\ \mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}\qquad\mathrm{d}\mathbf{S}\rfloor_S=\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\ \mathbf{u}_z$

Calculando la circulación y el flujo expresados en la anterior ecuación e igualando los resultados, obtenemos:

$\left.\begin{array}{ll}\displaystyle \oint_{\partial S}\!\mathbf{E}_\mathrm{ind}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-\frac{\mu_0K_0}{2T}\ 2\pi\rho_0^2+2\pi A\\ \\ \displaystyle \int_S\!\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-\frac{\mu_0K_0}{T}\ \pi \rho_0^2\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle A=0$

Nótese que, con este resultado, el campo eléctrico inducido tiende a anularse cuando $\rho\longrightarrow\infty$ , por lo que la solución también sirve para los puntos del eje $\ \rho=0$ .

Para calcular la constante $\ B$ que afecta a la solución de dicho campo en el exterior del cilindro, exigiremos que se verifique la continuidad de sus componentes tangenciales:

$\mathbf{0}=\mathbf{u}_{\rho}\times\bigg[\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\rho=a^+}-\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\rho=a^-}\bigg]=\frac{B}{a}\mathbf{u}_z+\frac{\mu_0K_0}{2T}\ a\ \mathbf{u}_z$ $\Rightarrow$ $\displaystyle B=-\frac{\mu_0K_0}{2T}\ a^2$

Susituyendo estos valores en la expresión general del campo eléctrico inducido y escribiendo $\ K_0$ en términos de los parámetros físicos del aportados en el enunciado, se obtiene:

$\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0a\sigma_0\omega_0}{2T}\ \rho\ \mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \displaystyle-\frac{\mu_0a^3\sigma_0\omega_0}{2T \rho}\mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$

Es decir, en el interior del cilindro su módulo crece linealmente con la distancia al eje de simetría, mientras que en el exterior disminuye en un relación inversamente proporcional a ésta.

Hay que destacar que el campo eléctrico total resultante,...

$\mathbf{E}(\mathbf{r};t)=\mathbf{E}_\mathrm{irr}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{sol}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0a\sigma_0\omega_0}{2T}\ \rho\ \mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a\\ \\ \displaystyle\frac{a\sigma_0}{\varepsilon_0 \rho}\ \mathbf{u}_\rho-\frac{\mu_0a^3\sigma_0\omega_0}{2T \rho}\mathbf{u}_\varphi\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mathbf{0}\mathbf{,}$

¡es estacionario! Luego va a verificar de forma estricta la hipótesis de corrientes de desplazamiento nulas que introdujimos para facilitar la resolución del problema. En consecuencia, las soluciones obtenidas en este apartado para los campos magnético y eléctrico son exactas, siempre que evaluemos el valor de los campos lo suficientemente lejos de los extremos del cilindro, y se verifique la condición de que el cilindro tiene una longitud mucho mayor que su radio.

2.3 Densidad de flujo de potencia (vector de Poynting)

Para determinar la dirección, sentido y magnitud de la densidad de flujo de potencia electromagnética evaluaremos en cada caso el vector de Poynting, que para campos en el vacío se define como,

$\mathbf{N}(\mathbf{r};t)=\frac{\mathbf{E}(\mathbf{r};t)\times\mathbf{B}(\mathbf{r};t)}{\mu_0}$

2.3.1 Cilindro en rotación uniforme

En este caso obtuvimos que sólo en el exterior del cilindro existirá campo eléctrico, mientras que el campo magnético está confinado en el interior. Por tanto, el vector de Poynting va a ser nulo en todos los puntos del espacio:

$\mathbf{N}(\mathbf{r};t)=\mathbf{0}\mathrm{,}\quad\forall\,t\mathrm{,}\;\forall \,P\in\mathrm{I}\!\mathrm{R}^3$

Este resultado tendrá como consecuencia que el flujo de potencia electromagnética a través de cualquier superficie cerrada, va a ser nulo en todo instante.

2.3.2 Cilindro en rotación uniformemente acelerada

Para esta situación obtuvimos que el campo eléctrico es no nulo, tanto en el exterior como en los puntos interiores a la superficie cilíndrica. Sin embargo, el campo magnético sigue siendo nulo en el exterior, al constituir la superficie cargada y en rotación un solenoide cilíndrico. Consecuentemente, el vector de Poynting también será nulo en el exterior, y no nulo en el interior, ya que los campos eléctrico y magnético en esta región no son paralelos:

$\mathbf{N}(\mathbf{r};t)=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0}{2}\left(\frac{a\sigma_0\omega_0}{T}\right)^2 \rho\ t\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad \rho<a \\ \\ \mathbf{0}\mathrm{;}&\mathrm{para}\quad a<\rho \end{cases}$

Este resultado nos indica que en cada punto de la región cilíndrica limitada por la superficie $\ \Sigma$ , la potencia electromagnética fluye hacia el interior de la misma, con la dirección y el sentido del unitario $\ -\mathbf{u}_\rho$ . La magnitud de la densidad de flujo en cada punto de dicha región es proporcional a la distancia que lo separa del eje $\ Z$ y al instante de tiempo.

3 Anexo: evaluación del Teorema de Poynting en el sistema

Campos creados por superficie cilíndríca cargada en rotación

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Caso de rotación uniforme

2.1.1 Campo magnético

2.1.2 Campo eléctrico

2.2 Caso de rotación uniformemente acelerada

2.2.1 Campo magnético

2.2.2 Campo eléctrico

2.3 Densidad de flujo de potencia (vector de Poynting)

2.3.1 Cilindro en rotación uniforme

2.3.2 Cilindro en rotación uniformemente acelerada

3 Anexo: evaluación del Teorema de Poynting en el sistema

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