Problemas de metrología (G.I.T.I.)

De Laplace

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Contenido

1 Ejemplos de análisis dimensional
2 Ecuación dimensional de G (Ex.Nov/11)
3 Fórmulas dimensionalmente incorrectas
4 Dependencias del periodo de un péndulo
5 Dependencias de la fuerza centrípeta
6 Dependencias de la fuerza viscosa (Ex.Nov/11)
7 Ejemplos de conversión de unidades
8 No Boletín - Celeridad de Venus (Ex.Dic/11)
9 No Boletín - Conversión del slug (Ex.Nov/11)
10 No Boletín - Intensidad de una onda sonora (Ex.Nov/12)
11 No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)
12 No Boletín - Radio de un caracol (Ex.Ene/12)
13 No Boletín - Tercera ley de Kepler (Ex.Nov/12)

1 Ejemplos de análisis dimensional

A partir de las relaciones definitorias

Velocidad	Cantidad de movimiento	Aceleración	Fuerza
$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$	$\vec{p}=m\vec{v}$	$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$	$\vec{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$
Trabajo	Potencia	Momento cinético	Momento de una fuerza
$W=\int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$	$P=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$	$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$	$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$

determine las ecuaciones dimensionales de estas magnitudes, así como sus unidades en el Sistema Internacional (SI) en función de las unidades básicas de este sistema.

2 Ecuación dimensional de G (Ex.Nov/11)

La ley de la Gravitación Universal establece que la interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza cuyo módulo es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos ( $m_1\,$ y $m_2\,$ ) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ( $r\,$ ) que los separa, es decir:

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

¿Cuál es la ecuación dimensional de la constante de gravitación universal $G\,$ en el SI?

3 Fórmulas dimensionalmente incorrectas

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

a) $W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

b) $\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

c) $\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

d) $\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}$

e) $\int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

f) $\int_0^T (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

g) $P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

h) $\int_{t_1}^{t_2}\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

4 Dependencias del periodo de un péndulo

Un péndulo simple es una masa $m$ suspendida de un hilo ideal (sin masa), que tiene una longitud $l$ . La masa está sometida a la aceleración de la gravedad, $g$ . El péndulo llega a separarse de la vertical un cierto ángulo $θ 0$ .

Si duplicamos la longitud del péndulo, ¿cómo cambiará su periodo de oscilación? ¿Y si nos llevamos el péndulo a la Luna, donde la gravedad es 1/6 de la terrestre?

5 Dependencias de la fuerza centrípeta

Se sabe que la fuerza centrípeta solo depende de la masa, la velocidad y el radio de curvatura. Determine la fórmula que da la fuerza centrípeta en función de estas tres cantidades.

6 Dependencias de la fuerza viscosa (Ex.Nov/11)

El poise (P), que es la unidad de viscosidad dinámica en el sistema CGS, se define como 1 P = 1 g $\cdot$ (s $\cdot$ cm) $- 1$ . ¿Cuál es la unidad de viscosidad dinámica en el SI?

Según la denominada ley de Stokes, el módulo de la fuerza viscosa $F\,$ ejercida sobre una esfera que se mueve en un fluido depende exclusivamente de tres magnitudes: el radio $r\,$ de la esfera, la celeridad $v\,$ con que ésta se mueve y la viscosidad dinámica $\eta\,$ del fluido. Deduzca, mediante análisis dimensional, los exponentes $n\,$ , $p\,$ y $q\,$ con los que aparecen $r\,$ , $v\,$ y $\eta\,$ , respectivamente, en la fórmula del módulo de la fuerza viscosa según Stokes, y así podrá responder a las dos siguientes preguntas.

a) Si en un mismo fluido se mueven dos esferas, ambas con igual celeridad, pero el radio de la segunda es el doble que el radio de la primera ( $r_2=2\,r_1\,$ ), ¿qué relación existe entre los módulos de las fuerzas viscosas soportadas por la primera y la segunda esfera?

b) Si, al pasar de un instante $t_1\,$ a otro posterior $t_2\,$ , la celeridad de una esfera en el seno de un fluido se ha reducido conforme a la relación $v_2=0.80\,v_1\,$ , ¿cómo habrá cambiado el módulo de la fuerza viscosa sobre ella ejercida?

7 Ejemplos de conversión de unidades

Exprese estas cantidades en términos de las unidades fundamentales del SI:

Nudo (milla náutica/hora)
Año luz
Acre (rectángulo de 66 pies por 220 yardas)
Siglo
Unidad de Masa Atómica
R = 0.082 atm·L/K·mol
Libra-fuerza por pulgada cuadrada (Ex.Ene/11)

8 No Boletín - Celeridad de Venus (Ex.Dic/11)

Una Unidad Astronómica (UA) es la distancia media Tierra-Sol y equivale aproximadamente a 1.5 $\times$ 10 $8$ km. Venus describe una órbita aproximadamente circular de 0.723 UA de radio en 224.7 días (terrestres). ¿Cuánto vale (en km/s) la celeridad de Venus en su órbita alrededor del Sol?

9 No Boletín - Conversión del slug (Ex.Nov/11)

La unidad de masa en el sistema FPS es el slug, que se define como la masa que se acelera un pie por segundo cada segundo bajo la acción de una libra-fuerza (1 slug = 1 lbf $\cdot$ s $2$ /ft). Si una pulgada son 2.54 cm, un pie (ft) tiene 12 pulgadas, y una libra-fuerza (lbf) son 4.448 N, ¿a cuánto equivalen 5 slugs en el SI?

10 No Boletín - Intensidad de una onda sonora (Ex.Nov/12)

La intensidad $I\,$ de una onda sonora armónica propagándose en el seno de un gas puede calcularse mediante la fórmula:

$I=\frac{(p_{\mathrm{max}})^2}{2\rho_o v}$

donde $p_{\mathrm{max}}\,$ es la amplitud de presión (dimensiones de presión), $\rho_o\,$ es la densidad del gas en el equilibrio (se mide en kg/m $3$ en el SI), y $v\,$ es la velocidad de propagación de la onda.

¿Cuál es la ecuación dimensional de $I\,$ ?
¿En qué unidad se mide $I\,$ en el SI?

11 No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)

Considérese un tubo cilíndrico, de radio $r\,$ y longitud $L\,$ , a lo largo del cual fluye un cierto líquido. Bajo ciertas condiciones, el volumen $\Delta V\,$ de líquido que pasa por el tubo en un intervalo de tiempo $\Delta\, t\,$ viene dado por la fórmula:

$\frac{\Delta V}{\Delta\, t}=\frac{\pi r^{n}}{8\eta L}\,\Delta p$

donde $\Delta p\,$ es la diferencia de presión entre los extremos del tubo, y $\eta\,$ es la viscosidad dinámica del líquido (la unidad de $\eta\,$ en el SI es $1\,\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-1}\!\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}\,$ ). ¿Cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$ del radio tubular en la fórmula anterior?

12 No Boletín - Radio de un caracol (Ex.Ene/12)

Un caracol, moviéndose con una celeridad media de dos pulgadas por minuto, recorre tres veces una circunferencia en un día. Se sabe que un pie (ft) tiene doce pulgadas. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia expresado en pies?

13 No Boletín - Tercera ley de Kepler (Ex.Nov/12)

El período $\,T\,$ de revolución de un planeta alrededor del Sol se puede calcular mediante el siguiente producto de potencias:

$T=Ca^{\alpha}M^{\beta}G^{\,\gamma}$

donde $\,C\,$ es un factor adimensional, $a\,$ es la longitud del semieje mayor de la órbita elíptica del planeta, $M\,$ es la masa del Sol, y $G\,$ es la constante de gravitación universal (la cual se mide en N $\,\cdot\,$ m $2$ /kg $2$ en el SI). Utilice el análisis dimensional para responder a la siguiente pregunta: ¿cuáles son los valores correctos de los exponentes $\,\alpha\,$ , $\beta\,$ y $\,\gamma\,$ ?