1.3. Fórmulas dimensionalmente incorrectas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Caso (a)
3 Caso (b)
4 Caso (c)
5 Caso (d)
6 Caso (e)
7 Caso (f)
8 Caso (g)
9 Caso (h)

1 Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

a) $W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

b) $\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

c) $\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

d) $\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}$

e) $\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

f) $\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

g) $P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

h) $\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

2 Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

$W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

tenemos que el Trabajo trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

$[W]= M L^2T^{-2}\,$

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

$\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,$

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

$[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,$

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

3 Caso (b)

En el segundo caso

$\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

$\left[\vec{r}\times\vec{L}\right] = [r][L] = L(ML^2T^{-1}) = ML^3T^{-1}$

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

$\left[R^2\vec{p}\right] = L^2(MLT^{-1}) = ML^3T^{-1}$

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.

4 Caso (c)

En el tercer caso

$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

$[M]= M L^2 T^{-2}\,$

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

$\left[\vec{r}\times\vec{F}\right] = [r][F]=L(MLT^{-2}) = M L^2T^{-2}$

y para el segundo

$\left[\vec{v}\times\vec{p}\right]= [v][p]= (LT^{-1})(MLT^{-1}) = ML^2T^{-2}$

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

5 Caso (d)

En el caso

$\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}$

Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador

$[x] = L\,$ $[vt]=[v][t]=(LT^{-1})T = L\,$

y en el denominador

$[t] = T\,$ $[v/a]=\frac{[v]}{[a]}=\frac{LT^{-1}}{LT^{-2}}=T$

Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son

$\left[\frac{x-vt}{t-v/a}\right] = \frac{[x]}{[t]} = LT^{-1}$

Para el segundo miembro se cumple

$[W]= ML^2T^{-2}\,$

[F x] = (M L T - 2) L = M L 2 T - 2

que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda

$\left[\sqrt{\frac{W-Fx}{m}}\right]= \left(\frac{[W]}{[m]}\right)^{1/2} = \left(\frac{ML^2T^{-2}}{M}\right)^{1/2} = LT^{-1}$

Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.

6 Caso (e)

En la fórmula

$\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

$\left[\int \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}$

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

$\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}$

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

7 Caso (f)

Para la fórmula

$\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

$[P] = ML^2T^{-3}\,$ $\left[\vec{F}\cdot\vec{v}\right] = [F][v] = (MLT^{-2})(LT^{-1}) = ML^2T^{-3}$

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

$\left[\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t\right] =[P][t] = ML^2T^{-2}$

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

$[mgh] = [m][g][h] = M(LT^{-2})L = ML^2 T^{-2}\,$

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

$\left[\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{[p]^2}{[m]} = \frac{(MLT^{-1})^2}{M} = ML^2T^{-2}$

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

8 Caso (g)

En la expresión

$P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

$(x-\pi R^2)\,$

en la cual se suma una longitud (de dimensión $L$ ) con un área (de dimensión $L 2$ ), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

9 Caso (h)

Por último, para la fórmula

$\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión $T$ ) la inversa de un tiempo (de dimensión $T - 1$ ) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.

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