1.3. Fórmulas dimensionalmente incorrectas
De Laplace
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1 Enunciado
Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
- h)
2 Caso (a)
Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.
En el primer caso
![W = \frac{1}{2}mv^2 + gy](/wiki/images/math/2/a/f/2af9aa776d97ea6504f8008e3f9272de.png)
tenemos que el Trabajo trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado
![[W]= M L^2T^{-2}\,](/wiki/images/math/9/7/e/97e5c25fc7da2c830e34ba663f3a050e.png)
De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este
![\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,](/wiki/images/math/5/d/3/5d330a85130dd5f038304b71ad2b7d7f.png)
mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia
![[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,](/wiki/images/math/3/5/d/35d6a0e6105b84d28031f80efebd7e81.png)
Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.
3 Caso (b)
En el segundo caso
![\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}](/wiki/images/math/0/a/d/0add637cbda6a64123c4be2c853ffa9d.png)
el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia
![\left[\vec{r}\times\vec{L}\right] = [r][L] = L(ML^2T^{-1}) = ML^3T^{-1}](/wiki/images/math/d/2/b/d2b042c3d3326959212486577d1e27af.png)
y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie
![\left[R^2\vec{p}\right] = L^2(MLT^{-1}) = ML^3T^{-1}](/wiki/images/math/6/2/b/62bd8a60a26e708fa4bf0bcadc71cc50.png)
Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.
4 Caso (c)
En el tercer caso
![\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}](/wiki/images/math/c/1/9/c194fc14d9ba83c60b81e4bbb7699a22.png)
El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo
![[M]= M L^2 T^{-2}\,](/wiki/images/math/1/4/4/144d2a88160dd2926991a9df676cce6e.png)
En el segundo miembro tenemos, para el primer término
![\left[\vec{r}\times\vec{F}\right] = [r][F]=L(MLT^{-2}) = M L^2T^{-2}](/wiki/images/math/0/c/0/0c011175100ec19df4d93b9d775e279c.png)
y para el segundo
![\left[\vec{v}\times\vec{p}\right]= [v][p]= (LT^{-1})(MLT^{-1}) = ML^2T^{-2}](/wiki/images/math/d/7/7/d77afe52ba6d9dd89bbf4708e6fc59d4.png)
Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.
5 Caso (d)
En el caso
![\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}](/wiki/images/math/b/e/7/be7f14048f0476ff1494685d8f39d28e.png)
Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador
![[x] = L\,](/wiki/images/math/a/0/8/a0821e2f3df9b131dd9a3f2308458fd9.png)
![[vt]=[v][t]=(LT^{-1})T = L\,](/wiki/images/math/7/9/7/7975c276ff9c7b9fd9937651479139bf.png)
y en el denominador
![[t] = T\,](/wiki/images/math/c/d/c/cdc10c3fcd53c4bf9f6ed61f224e8da3.png)
![[v/a]=\frac{[v]}{[a]}=\frac{LT^{-1}}{LT^{-2}}=T](/wiki/images/math/0/4/f/04f50ceadd40361420c1f18e139ce101.png)
Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son
![\left[\frac{x-vt}{t-v/a}\right] = \frac{[x]}{[t]} = LT^{-1}](/wiki/images/math/5/9/0/590588c268d392f889206972e4ce44f7.png)
Para el segundo miembro se cumple
![[W]= ML^2T^{-2}\,](/wiki/images/math/9/7/e/97e5c25fc7da2c830e34ba663f3a050e.png)
que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda
![\left[\sqrt{\frac{W-Fx}{m}}\right]= \left(\frac{[W]}{[m]}\right)^{1/2} = \left(\frac{ML^2T^{-2}}{M}\right)^{1/2} = LT^{-1}](/wiki/images/math/1/8/6/1869767cc35a387d2610629250b1d042.png)
Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.
6 Caso (e)
En la fórmula
![\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t](/wiki/images/math/4/d/d/4ddb994f8aacfab4e0ea9c47fbf4332c.png)
aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso
![\left[\int \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}](/wiki/images/math/b/9/9/b99a35270d79037925046b2423fcf701.png)
En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando
![\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}](/wiki/images/math/5/5/4/554604d9491ef2fc5088c4432a849d01.png)
Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.
7 Caso (f)
Para la fórmula
![\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}](/wiki/images/math/e/c/3/ec36b90130b1b4015ee6756d3e7231be.png)
Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando
![[P] = ML^2T^{-3}\,](/wiki/images/math/c/c/8/cc8b1b5b8a4ff00073a550d9c3d8433b.png)
![\left[\vec{F}\cdot\vec{v}\right] = [F][v] = (MLT^{-2})(LT^{-1}) = ML^2T^{-3}](/wiki/images/math/5/c/4/5c43182f1d1fb807b608ed3c832858a8.png)
por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son
![\left[\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t\right] =[P][t] = ML^2T^{-2}](/wiki/images/math/e/a/4/ea46f472b779627056e5c9edcd7d96ce.png)
Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones
![[mgh] = [m][g][h] = M(LT^{-2})L = ML^2 T^{-2}\,](/wiki/images/math/0/c/2/0c277cf03f546602ca8fb38b0fc77bd3.png)
que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando
![\left[\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{[p]^2}{[m]} = \frac{(MLT^{-1})^2}{M} = ML^2T^{-2}](/wiki/images/math/9/c/8/9c8d9bf36245a228011b96322fdb9246.png)
Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.
8 Caso (g)
En la expresión
![P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)](/wiki/images/math/7/9/1/791f2b12fd995435444b9fb983662392.png)
aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación
![(x-\pi R^2)\,](/wiki/images/math/0/1/0/010e10b03fb5aa0163a9cce3e49171e6.png)
en la cual se suma una longitud (de dimensión L) con un área (de dimensión L2), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.
9 Caso (h)
Por último, para la fórmula
![\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}](/wiki/images/math/9/f/8/9f86b4149a88e89430aa6d56b08233ae.png)
el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión T) la inversa de un tiempo (de dimensión T − 1) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.