Problemas de inducción electromagnética (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Barra que avanza en un campo uniforme
2 Espira cuadrada que gira en un campo magnético
3 Frenado magnético de espira
4 Espira cuadrada girada que penetra en campo
5 Pulso gaussiano a través de espira
6 Circuito alrededor de un solenoide
7 Autoinducción e inducción mutua de bobinas
8 Transformador ideal
9 Comportamiento de una bobina real
10 Máquina eléctrica lineal
11 Circuito con resistencias, condensador y bobina

1 Barra que avanza en un campo uniforme

Una barra metálica de longitud $a=10\,\mathrm{cm}$ se mueve en el interior de un campo magnético uniforme $\vec{B}_0$ ( $B_0=10\,\mathrm{mT}$ ) con velocidad constante $\vec{v}$ , siendo $\vec{v}$ perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo $v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calcule la fuerza magnética sobre una carga $q\,$ de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

Solución

2 Espira cuadrada que gira en un campo magnético

Una espira cuadrada de lado $a=2\,\mathrm{cm}$ , de hilo de cobre de sección $A=0.5\,\mathrm{mm}^2$ gira con frecuencia $f=400\,\mathrm{Hz}$ en el interior de un campo magnético uniforme de módulo $B_0=200\,\mathrm{mT}$ . El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

Determine la corriente que se induce en la espira.
Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.
Calcule el par que en cada instante ejerce el campo magnético sobre la espira.
Para mantener la rotación constante, es necesario realizar un par opuesto al anterior. ¿Cuánto vale la potencia desarrollada por el par externo y el trabajo total realizado para mantener la rotación?

Solución

3 Frenado magnético de espira

Una espira cuadrada de lado $a=10\,\mathrm{cm}$ , hecha de un hilo de cobre de sección $A=1\,\mathrm{mm}^2$ penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo $B_0=30\,\mathrm{mT}$ . La espira se mueve inicialmente con velocidad $v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En $t = 0$ la espira entra en el campo.

Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia $x\,$ y se está moviendo con velocidad $v\,$ .
Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

Solución

4 Espira cuadrada girada que penetra en campo

Una espira cuadrada cuya diagonal mide $2 a$ y que posee una resistencia eléctrica $R$ penetra con velocidad $\vec{v}=v_0\vec{\imath}$ constante en un campo magnético uniforme $\vec{B}=B_0\vec{k}$ que se aplica en el semiespacio x>0. La espira está girada 45° respecto a la dirección de movimiento.

Determine la corriente que circula por la espira como función del tiempo.
Calcule la fuerza magnética que actúa sobre la espira como función del tiempo.
Calcule la potencia disipada en la espira por efecto Joule en cada instante y la energía total disipada desde que comienza a penetrar hasta que se encuentra completamente inmersa en el campo magnético.

Solución

5 Pulso gaussiano a través de espira

Una espira circular de radio $b$ , resistencia $R$ y autoinducción despreciable, situada en el plano XY, se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo como un pulso gaussiano

$\vec{B}=B_0\mathrm{e}^{-(t/T)^2}\vec{k}$

¿Qué corriente circula por la espira como función del tiempo?
¿Cuánta carga pasa por un punto de la espira entre t→-∞ y t→+∞?

Solución

6 Circuito alrededor de un solenoide

Se tiene un solenoide largo de radio $a$ , y densidad de espiras $n$ por el cual circula una corriente variable en el tiempo $I 0 (t)$ . Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos $A\,$ y $B\,$ , diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias $R_1\,$ y $R_2\,$ , tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

Solución

7 Autoinducción e inducción mutua de bobinas

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud $h\,$ y número de espiras $N 1$ y $N 2$ , respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, $a$ y $b$ ( $a < b$ ).

Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas. ¿En qué caso es igual a la unidad? ¿Cuándo puede ser igual a −1?

Solución

8 Transformador ideal

Un transformador ideal está formado por dos bobinas (el primario y el secundario) arrolladas alrededor de un núcleo de alta permeabilidad. Se supone que las bobinas no tienen resistencia y que el flujo magnético para cualquier sección del núcleo es el mismo. El primario tiene $N 1$ espiras y el secundario $N 2$ .

Si entre los extremos del primario se establece un voltaje $Δ V 1 = V 0 cos(ω t)$ , ¿qué voltaje se mide si se pone un voltímetro entre los extremos del secundario?
Si por el primario circula una corriente $I 1 cos(ω t)$ , ¿qué corriente circula por el voltímetrosecundario?
Si en lugar de un voltímetro se cierra el secundario con un amperímetro ideal sin resistencia, ¿qué corriente circula por él? ¿Y por el primario?
En general, si lo que hay conectado a la salida del secundario es una resistencia R, ¿qué corriente circula por ella? ¿qué vltaje hay entre sus extremos?
Para este caso, ¿qué potencia entrega la fuente del primario al sistema?

Solución

9 Comportamiento de una bobina real

Con 20 m de hilo de cobre de 1 mm de diámetro se construye una bobina, arrollándola sobre un cilindro de cartón de 26 mm de diámetro. El hilo se enrolla densamente, sin dejar espacio entre vuelta y vuelta.

Halle la resistencia de la bobina (conductividad del cobre: $5.96\times 10^{7}\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ).
Calcule el coeficiente de autoinducción de la bobina.
Suponga que se conecta la bobina a una fuente de continua de 1 V. ¿Qué campo magnético produce esta bobina en su interior?
Calcule la energía magnética almacenada en la bobina y la potencia que disipa en cada instante por efecto Joule.
Suponga que la bobina se conecta a la fuente anterior empleando un interruptor que se cierra en $t = 0$ . ¿Cuánto tiempo tarda aproximadamente en establecerse la corriente continua?

Solución

10 Máquina eléctrica lineal

Un modelo sencillo de máquina eléctrica sería el siguiente. Se tiene un campo magnético uniforme $\vec{B}=B_0\vec{k}$ . En el interior de este campo se halla un circuito formado por una fuente de corriente continua, de fuerza electromotriz $\mathcal{E}_0$ y resistencia $r$ , dos raíles perfectamente conductores, situados paralelamente a una distancia $b$ , y una barra de masa $m$ , también perfectamente conductora, que desliza sin rozamiento por los raíles (ver figura).

Suponga que en un instante dado la barra se mueve con velocidad $v$ alejándose de la fuente. ¿Qué intensidad de corriente circula por ella? ¿Qué fuerza se ejerce sobre ella? ¿Para qué valor de la velocidad, $v 0$ , esta intensidad de corriente es nula?
Demuestre que si la velocidad de la barra es $v < v 0$ , la barra tiende a acelerarse, mientras que si es mayor tiende a frenarse, por lo que la barra tiende a moverse con velocidad constante.
Suponga que inicialmente el circuito está abierto, la barra en reposo, y en $t = 0$ se cierra el interruptor. Aplicando los resultados del primer apartado, determine la ecuación de movimiento para la barra. Resuelva esta ecuación mostrando que la barra sale disparada con una velocidad que tiende a ser constante. Este sería un cañón electromagnético railgun.

Solución

11 Circuito con resistencias, condensador y bobina

Se tiene el circuito de la figura, en el cual hay tres resistencias, un condensador y una bobina y autoinducción. Todo el conjunto está conectado a una diferencia de potencial $V_0=36\,\mathrm{V}$ .