Autoinducción e inducción mutua de bobinas (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud $h\,$ y número de espiras $N 1$ y $N 2$ , respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, $a$ y $b$ ( $a < b$ ).

Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.

2 Matriz de inducciones mutuas

Existen tres métodos a la hora de calcular los coeficientes de inducción mutua y autoinducción. Uno es el cálculo directo a partir de la fórmula de Neumann, que no consideraremos por ser extremadamente complicado. El segundo es partir del flujo inducido en cada solenoide por los campos magnéticos propios o ajenos. El tercero es a partir de la expresión de la energía magnética, que tampoco consideraremos aquí (puede encontrarse en esta versión extendida de este mismo problema

Es conocido que un solenoide muy largo de longitud $h$ , radio $R$ , con $N$ espiras por las cuales circula una corriente $I$ produce un campo magnético

Si $ρ < R$

$\vec{B} = \frac{\mu_0 NI}{h} \vec{k}$

Si $ρ > R$

$\vec{B} = \mathbf{0}$

En nuestro caso disponemos de dos solenoides, cada uno de los cuales crea su propio campo magnético. Por simple aplicación del principio de superposición resulta

Si $ρ < a$

$\vec{B} = \left(\frac{\mu_0 N_1I_1}{h} +\frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\right)\vec{k}$

Si $a < ρ < b$

$\vec{B} = \frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\vec{k}$

Si $b < ρ$

$\vec{B} = \mathbf{0}$

donde $I 1$ , e $I 2$ son las corrientes que circulan por los solenoides de radios $a$ y $b$ , respectivamente. Aquí hemos hecho uso de que todas las bobinas poseen la misma longitud y el mismo sentido de giro (lo que hace que todos los campos tengan el mismo sentido).

Para calcular los coeficientes de inducción mutua a partir de los flujos, partimos de las expresiones

$\begin{matrix}\Phi_1 & = & L_{1}I_1+MI_2\\ \Phi_2 & = & MI_1+L_{2}I_2\end{matrix}$

Si suponemos que $I 1 = 0$ , $I_2\neq 0$ , sólo circula corriente por la bobina exterior, resultan los coeficientes $M$ y $L 2$ . En este caso, el campo magnético vale

$\vec{B}=\begin{cases}\displaystyle \frac{\mu_0N_2I_2}{h}\vec{k} & (\rho < b) \\ \mathbf{0} & (\rho > b)\end{cases}$

por lo que el flujo será el correspondiente a sumar las contribuciones de las $N i$ espiras que forman cada solenoide, teniendo en cuenta además la superficie de cada una de ellas, esto es

$\Phi_1=N_1(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_2 I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad M=\frac{\mu_0\pi N_1N_2 a^2}{h}$ $\Phi_2=N_2(\pi b^2) \frac{\mu_0 N_2 I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{2}=\frac{\mu_0\pi N_2^2 b^2}{h}$

Aprovechando la simetría de los coeficientes, con el resultado anterior ya conocemos el coeficiente $M$ , pero podemos hallarlos explícitamente empleando un razonamiento análogo.

Si es $I_1\neq 0$ , $I 2 = 0$ , a la hora de calcular el flujo sobre una bobina mayor, debe tenerse en cuenta que sólo hay campo dentro de la bobina que crea el campo, y es el área de ésta la que hay que considerar. Queda entonces

$\Phi_1=N_1(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_1 I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{1}=\frac{\mu_0\pi N_1^2 a^2}{h}$ $\Phi_2=N_2(\pi a^2) \frac{\mu_0 N_1 I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad M=\frac{\mu_0\pi N_1N_2 a^2}{h}$

Finalmente, la matriz de inducciones mutuas es

$\mathsf{L}=\frac{\mu_0\pi}{h}\begin{pmatrix}N_1^2a^2 & N_1N_2a^2 \\ N_1N_2a^2 & N_2b^2\end{pmatrix}$

Obsérvese como la simetría de la matriz resulta de aplicar razonamientos diferentes al elemento $M$ (en un caso es el área la que está limitada, en el otro es el campo magnético).

3 Constante de acoplamiento

La constante de acoplamiento para un sistema de dos solenoides vale

$k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$

Sustituyendo los valores para este caso

$k = \frac{N_1N_2a^2}{\sqrt{N_1^2a^2N_2^2b^2}} = \frac{a}{b}$

Esta es siempre menor que la unidad pues en el cálculo de $M$ hemos supuesto que $a \leq b$ . Es igual a la unidad cuando $a=b\,$ . En este caso, al tener las dos bobinas el mismo radio (aunque distinto número de espiras) todo el campo de una pasa por el interior de la otra y el acoplamiento es máximo