Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)

De Laplace

Contenido 1 Masa girando alrededor de una mano 2 Dos bloques apilados 3 Doble máquina de Atwood 4 Dos masas, un plano y un hilo 5 Curvas y peraltes 6 Movimiento de un péndulo 7 Masa suspendida de dos muelles 8 Dos resortes enfrentados 9 Amortiguamiento viscoso 10 Resorte con rozamiento seco 11 Partícula en el interior de un tubo 12 Fuerza en anilla ensartada en varillas 13 Dos masas en planos inclinados y un muelle 14 Partícula suspendida de resorte y barra 15 Masa que cuelga de dos poleas 16 Partícula en una superficie cónica 17 Máquina de Atwood con resorte

1 Masa girando alrededor de una mano

Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.

Solución

2 Dos bloques apilados

Sobre una mesa horizontal se encuentran apilados dos bloques, siendo el inferior de masa m₁ y el superior de masa m₂. El coeficiente de rozamiento estático del bloque inferior con la mesa vale μ₁ y el del segundo bloque con el primero μ₂. Los coeficientes de rozamiento dinámico valen lo mismo que los estáticos.

1. Para el estado de reposo y sin fuerzas laterales aplicadas, indique la fuerza que la mesa ejerce sobre el bloque inferior y el que éste ejerce sobre el superior.
2. Suponiendo μ₁ = 0, se tira del bloque inferior con una fuerza horizontal F. ¿Qué fuerzas actúan sobre cada bloque? ¿Cuánto debe valer como mínimo esta fuerza si se quiere que el bloque superior se quede atrás? ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque para valores de la fuerza inferiores o superiores a este valor crítico?
3. Resuelva las mismas cuestiones que en el apartado anterior, suponiendo ahora .
4. Calcule los valores de las diferentes fuerzas y las aceleraciones si , , μ₁ = 0.30, μ₂ = 0.50 para (a) (b) (c)

Solución

3 Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

Solución

4 Dos masas, un plano y un hilo

Se tienen dos masas m₁ y m₂ atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa m₁ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo α y entre ambos puede existir un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ. La masa m₂ cuelga verticalmente.

1. Considere en primer lugar el caso α = 0 (mesa horizontal). Si no hay rozamiento, ¿pueden quedarse en equilibrio las masas? ¿Cuál es su aceleración en ese caso? Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, ¿cuál es su mínimo valor para que haya equilibrio? Si el rozamiento es menor que este mínimo, ¿cuáles son las aceleraciones de las masas?
2. Suponiendo pero sin rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
3. Si ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar m₂ para que las masas queden en equilibrio?
4. Sea , tg(α) = 0.75 y μ = 0.30. ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) , (b) y (c) .

Solución

5 Curvas y peraltes

El circuito de Indianápolis posee curvas de 200m de radio peraltadas un ángulo de 9º12'.

1. Si no se considera el rozamiento, ¿con qué rapidez debe ir un coche si no quiere deslizarse ni hacia arriba ni hacia abajo?
2. El coeficiente de rozamiento lateral de un coche con la pista vale μ = 1.50. ¿Cuáles son las velocidades máximas y mínimas que puede adquirir un coche sin derrapar?

Solución

6 Movimiento de un péndulo

Tenemos un péndulo simple formado por una lenteja de 0.5 kg que cuelga de una varilla rígida de masa despreciable y 1.20 m de longitud.

1. Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo de 5° y se suelta desde el reposo, ¿con qué rapidez pasa la masa por el punto más bajo? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a esta posición?
2. ¿Cuánto vale la tensión de la varilla en el momento de soltar la masa? ¿Y en el punto más bajo?
3. Suponga que se ajusta un relo

Solución

7 Masa suspendida de dos muelles

Se dispone de una masa y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes y .

1. Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
2. Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
3. Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
4. Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?

Solución

8 Dos resortes enfrentados

Una partícula de masa m se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo l₁₀ y l₂₀, que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia L. Los muelles poseen constantes de recuperación k₁ y k₂.

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si ? ¿Y si ?
2. Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad v₀. Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.
3. Considere el caso particular , , , y . ¿Dónde se encuentra la posición de equilibrio? ¿Cuál será su amplitud y frecuencia si desde la posición de equilibrio se le comunica una velocidad +0.20 m/s?
4. Si para el caso práctico anterior se encuentra la masa en reposo en la posición de equilibrio y en ese momento se corta su atadura con el muelle 2, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia que las oscilaciones que describe a partir de ese momento?

Solución

9 Amortiguamiento viscoso

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa m impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia x₀ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

Solución

10 Resorte con rozamiento seco

Se tiene una masa atada a un resorte de constante y longitud en reposo . La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento μ = 0.10. El muelle se comprime una cantidad respecto a su posición de equilibrio.

1. Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
2. Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
3. Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
4. ¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?

Solución

11 Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

        

donde , función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Suponga que
   1. Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
   2. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   3. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
3. Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
   1. ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
   2. ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

Solución

12 Fuerza en anilla ensartada en varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Solución

13 Dos masas en planos inclinados y un muelle

Dos masas iguales de peso situadas sobre dos planos inclinados contiguos, de las dimensiones mostradas en la figura. Las dimensiones son tales que el ángulo en O es recto.

Las masas están unidas por un resorte ideal de longitud natural nula y constante . No hay rozamiento con las superficies.

1. Determine la posición de equilibrio de las dos masas, hallando los valores de x e y.
2. Para esta posición de equilibrio, calcule las fuerzas de reacción ejercidas por los planos, así como la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre cada masa.
3. Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático μ = 0.25 entre las masas y las superficies en que se apoyan. En ese caso hay un rango de posiciones en las que puede producirse el equilibrio. ¿Cuánto valen x e y para la posición de equilibrio con mínima longitud del resorte? ¿Y para el caso de máxima longitud del resorte?

Sugerencia: Empléense los ejes de la figura.

Solución

14 Partícula suspendida de resorte y barra

Una partícula de peso se encuentra atada simultáneamente a una barra rígida de longitud y a un muelle de longitud natural nula y constante . Los anclajes de la barra y el resorte distan .

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿Cuánto vale la tensión de la barra en este momento? ¿Cuál es la longitud del resorte?
2. Suponga que se corta la unión de la masa con el resorte. ¿Qué tipo de movimiento describe la masa a partir de ese momento? Halle la rapidez máxima que alcanza.
3. Suponga que, en lugar de lo anterior, se corta la unión de la masa con la barra. ¿Qué movimiento describe en ese caso? Calcule la amplitud y frecuencia del movimiento resultante. Halle la rapidez máxima que alcanza.

Solución

15 Masa que cuelga de dos poleas

Un bloque con un peso de 100 N cuelga de dos hilos que pasan por sendas poleas ideales colgadas del techo y separadas 100 cm. En los otros extremos de los hilos cuelgan masas m₁ y m₂. En el equilibrio, la masa central se halla a 36 cm en la horizontal de la primera polea y 48 cm en la vertical. Las otras dos masas se encuentran a la misma altura respecto al techo.

1. Calcule los pesos de las dos masas de los extremos que garantizan que el sistema está en equilibrio.
2. Supongamos que agarramos la masa central y la desplazamos lentamente 28 cm hacia la derecha, sujetándola en la nueva posición. ¿Qué fuerza extra debe hacerse sobre la masa central para mantener el sistema quieto en esa posición?
3. ¿Qué trabajo hay que realizar para llevar a cabo el desplazamiento anterior?

Solución

16 Partícula en una superficie cónica

Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,

1. ¿Qué rapidez v₀ debe comunicársele a la partícula, en función de la altura h?
2. ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?
3. ¿Cuánto vale la proporción E/U entre la energía mecánica y la potencial para este movimiento circular? Tómese como origen de energía potencial el vértice del cono.
4. Exprese, en la base de las coordenadas cilíndricas:
   1. La cantidad de movimiento. ¿Es constante?
   2. El momento cinético respecto a O. ¿Es constante?
   3. La fuerza resultante sobre la partícula
   4. El momento de las fuerzas sobre la partícula.

Solución

17 Máquina de Atwood con resorte

Dos masas A y B, de masas y están unidas por un hilo ideal (“1”), inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin masa ni rozamiento. La masa A está unida al suelo por un resorte de constante y longitud natural . La B se mantiene a la misma altura que la primera mediante otro hilo ideal (“2”) de 15 cm de longitud. El sistema está inicialmente en equilibrio.

1. ¿Cuánto vale la tensión de cada hilo?
2. Suponga que se corta el hilo 2.
   1. ¿Cuánto vale la aceleración de cada masa justo tras el corte? ¿Y la tensión del hilo 1?
   2. ¿Cuánto mide la amplitud de las oscilaciones que describen las masas?
   3. ¿Cuál es la frecuencia ω de las oscilaciones que describe el sistema?
   4. Cuando el sistema está oscilando, ¿cuánto vale la tensión mínima del hilo? ¿Puede llegar a destensarse?

Tómese .

Solución