Primera Convocatoria Ordinaria 2014/15 (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Disco contenido en plano rotante
2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia
3 Partícula moviéndose sobre una hélice
4 Escuadra con barra vertical

1 Disco contenido en plano rotante

Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano $O X 0 Z 0$ (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje $O X 0$ ; además, su centro $C$ se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje $O Z 0$ con velocidad constante $v 0$ . El plano $Π 0$ se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo $Π 1$ , pero girando en sentido antihorario alrededor del eje $O Z 0 = O Z 1$ , con velocidad angular constante de valor $Ω$ . Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano $Π 1$ , en el instante en que el centro $C$ se encuentra a una distancia $d$ del eje $O Z 0,1$ . ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

Un punto material $P$ se mueve recorriendo la circunferencia $Γ$ , contenida en un plano $Π$ , cuya ecuación paramétrica es

$\Pi : \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda\,\vec{a} + \mu\,\vec{b}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$

donde $C$ es el centro de la circunferencia. Para describir analíticamente las magnitudes vectoriales se adopta un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cual $\vec{a} = 2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath}$ y $\vec{b} = \vec{\jmath} - \vec{k}$ , y la posición de $C$ está determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OC}=\vec{\jmath} + \vec{k}$ (con las componentes medidas en metros). En el instante inicial $(t = 0)$ , el punto móvil $P$ ocupa la posición determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}$ . A partir de ésta, la partícula realiza un movimiento circular uniforme, con velocidad de $2\,\mathrm{m/s}$ . Determine el vector rotación instantánea $\vec{\omega}_0$ que caracteriza este movimiento circular.

3 Partícula moviéndose sobre una hélice

Una partícula $P$ de masa $m$ está insertada en la hélice fija y uniforme $Γ$ . Utilizando un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector $\vec{g}=-g\vec{k}$ , la ecuación parámetrica de dicha hélice es:

$\Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k} \left\{ \begin{array}{l} x(\theta) = a\cos\theta\\ \\ y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \\ z(\theta) = \lambda\,\theta \end{array} \right.$

donde $a$ y $λ$ son constantes. EL parámetro geométrico $θ$ es el ángulo que forma con el eje $O X$ la proyección del radio-vector $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ sobre el plano horizontal $O X Y$ . Cuando la partícula recorre la hélice $Γ$ , sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria $θ(t)$ .

Determine cuál debe ser el valor de la constante $λ$ para que el radio de curvatura de la hélice sea $R κ = 3 a / 2$ . ¿Qué distancia $h$ asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje $O Z$ .
Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria $θ(t)$ y/o sus derivadas.
Discuta razonadamente si se verificará la conservación (total o parcial) del momento cinético $\vec{L}_O$ de la partícula, calculado respecto del punto fijo $O$ .

4 Escuadra con barra vertical

En la figura se muestran los sólidos rígidos "0" y "2" que realizan sendos movimientos planos respecto del plano director fijo $\Pi_1\equiv O_1X_1Y_1$ (sólido "1"). El sólido "0" está formado por dos barras, $O A$ y $O B$ , ambas de longitud $a$ y rígidamente unidas formado un recto. El sólido "2" es una barra rígida $C D$ , también de longitud $a$ , cuyos extremos siempre están en contacto con las barras $O A$ y $O B$ , respectivamente.

A partir de la posición inicial en que el vértice $O$ del sólido "0" coincide con el punto fijo $O 1$ , y las barras $O A$ y $O B$ están alineadas con los ejes $O 1 X 1$ y $O 1 Y 1$ , respectivamente, el sólido "0" se mueve, respecto de $Π 1$ , rotando en sentido horario. En dicho movimiento, el módulo del correspondiente vector rotación tiene un valor constante en el tiempo $ω 0$ . Además, los puntos $O$ y $A$ de dicho sólido recorren, respectivamente, los ejes $O 1 Y 1$ y $O 1 Y 1$ . Simultáneamente, los extremos $C$ y $D$ del sólido "2" recorren las barras $O A$ y $O B$ ,respectivamente, de manera que $C D$ permanece en todo momento paralela al eje $O 1 Y 1$ .

Obtenga de manera razonada e indique la posición de los C.I.R. de los movimientos relativos {01}, {20} y {21} en el instante reflejado en la figura, en que el ́angulo $θ(t)$ tiene un valor $π / 6$ . Indique también las direcciones de las velocidades de los extremos $C$ y $D$ del sólido "2", medidas desde el sistema de referencia "1" (movimiento {21}).
Obtenga las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el instante mostrado en la figura.
También para la posición analizada en los apartados anteriores, determine la aceleración instantánea de los puntos del sólido "2" en el movimiento {21}.

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1 Disco contenido en plano rotante

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

3 Partícula moviéndose sobre una hélice

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