Disco contenido en plano rotante, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
3 Información cinemática del enunciado
- 3.1 Resolución con composición de movimientos
- 3.2 Errores comunes detectados en la corrección
  - 3.2.1 Aceleración del origen
  - 3.2.2 Derivar una velocidad

1 Enunciado

Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano $O X 0 Z 0$ (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje $O X 0$ ; además, su centro $C$ se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje $O Z 0$ con velocidad constante $v 0$ . El plano $Π 0$ se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo $Π 1$ , pero girando en sentido antihorario alrededor del eje $O Z 0 = O Z 1$ , con velocidad angular constante de valor $Ω$ . Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano $Π 1$ , en el instante en que el centro $C$ se encuentra a una distancia $d$ del eje $O Z 0,1$ . ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?

2 Solución

3 Información cinemática del enunciado

El disco rueda sin deslizar sobre el eje $O X 0$ , por tanto

$\vec{v}^{\,D}_{20} = \vec{0}$

El centro del disco se mueve con velocidad

$\vec{v}^{\,C}_{20} = -v_0\,\vec{\imath}_0$

Además, este punto tiene siempre la misma velocidad en el movimiento {20}, porque es el centro del disco. Entonces

$\vec{a}^{\,C}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}$

El movimiento {20} es una rotación instantánea, con el eje perpendicular al plano del disco, por tanto

$\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{\jmath}_0$

Usamos el teorema de Chasles para calcular $ω 20$

$\left. \begin{array}{l} \vec{v}^{\,C}_{20} = -v_0\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DC} = (\omega_{20}\,\vec{\jmath})\times(R\,\vec{k}) = \omega_{20}R\,\vec{\imath}_0 \end{array} \right| \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0$

El plano realiza una rotación de eje permanente $O Z 0$ , con velocidad angular constante. La velocidad del movimiento {01} de cualquier punto del eje es nula en todo instante. Por tanto

$\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0\qquad \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O_1}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}$

3.1 Resolución con composición de movimientos

Usando el teorema de Coriolis podemos calcular $\vec{a}^{\,D}_{21}$ como

$\vec{a}^{\,D}_{21} = \vec{a}^{\,D}_{20} + \vec{a}^{\,D}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,D}_{20}$

Examinemos cada uno de los tres términos

$\vec{a}^{\,D}_{20} = \vec{a}^{\,C}_{20} + \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CD} + \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD})$

El primer sumando es cero. El segundo también, pues

$\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}$

Sólo queda el tercero, y tenemos

$\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD}) = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0$

Entonces

$\vec{a}^{\,D}_{20} = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0$

Para el segundo sumando tenemos

$\vec{a}^{\,D}_{01} = \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D})$

El primer sumando es nulo. El segundo también, pues

$\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}$

Para el tercer término tenemos

$\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D}) = \vec{\omega}_{01}\times\left( (\Omega\,\vec{k}_0)\times(d\,\vec{\imath}_0)\right) = (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\Omega d\,\vec{\jmath}_0) = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0$

Por último, el tercer sumando es cero, pues $\vec{v}^{\,D}_{20}=\vec{0}$ . Tenemos entonces

$\vec{a}^{\,D}_{21} = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0 + \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}$

Para obtener las componentes intrínsecas de la aceleración necesitamos $\vec{v}^{\,D}_{21}$ . Aplicamos composición de movimientos

$\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{v}^{\,D}_{01} = \vec{v}^{\,D}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} = \Omega d\,\vec{\jmath}_0$

La aceleración tangencial es

$a^{D}_{21T} = \dfrac{\vec{a}^{\,D}_{21}\cdot\vec{v}^{\,D}_{21}}{|\vec{v}^{\,D}_{21}|} = 0$

La aceleración normal es

$a^{D}_{21N} = \sqrt{|\vec{a}^{\,D}_{21}| - a^D_{21T}} = |\vec{a}^{\,D}_{21}| = \sqrt{\Omega^2d^4 + \dfrac{v_0^4}{R^2}}$

3.2 Errores comunes detectados en la corrección

3.2.1 Aceleración del origen

Mucha gente a dicho que la velocidad y la aceleración del punto $O 1$ son cero en todos los movimientos porque, como todo el mundo sabe, el origen no se mueve nunca. Esto no es correcto. El el punto geométrico $O 1$ hay 3 puntos, uno por cada sólido. Los del sólido "0" y "1" no se mueven, pero el del sólido "2" sí lo hace. Es decir

$\vec{v}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0}$

y también

$\vec{v}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0}$

3.2.2 Derivar una velocidad

Las velocidades que se obtienen con la composición de movimientos son instantáneas, no se pueden derivar. No se puede calcular $\vec{a}^{\,D}_{21}$ derivando $\vec{v}^{\,D}_{21}$ .

Disco contenido en plano rotante, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

3 Información cinemática del enunciado

3.1 Resolución con composición de movimientos

3.2 Errores comunes detectados en la corrección

3.2.1 Aceleración del origen

3.2.2 Derivar una velocidad

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