Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

1 Enunciado

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

Un punto material $P$ se mueve recorriendo la circunferencia $Γ$ , contenida en un plano $Π$ , cuya ecuación paramétrica es

$\Pi : \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda\,\vec{a} + \mu\,\vec{b}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$

donde $C$ es el centro de la circunferencia. Para describir analíticamente las magnitudes vectoriales se adopta un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cual $\vec{a} = 2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath}$ y $\vec{b} = \vec{\jmath} - \vec{k}$ , y la posición de $C$ está determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OC}=\vec{\jmath} + \vec{k}$ (con las componentes medidas en metros). En el instante inicial $(t = 0)$ , el punto móvil $P$ ocupa la posición determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}$ . A partir de ésta, la partícula realiza un movimiento circular uniforme, con velocidad de $2\,\mathrm{m/s}$ . Determine el vector rotación instantánea $\vec{\omega}_0$ que caracteriza este movimiento circular.

3 Solución

El vector rotación es perpendicular al plano. El plano es paralelo a los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , por lo que podemos encontrar un vector perpendicular al plano de módulo unidad usando el producto vectorial

$\vec{n} = \dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|} = \dfrac{1}{3}\,\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)$

El vector rotación es

$\vec{\omega}_0 = |\vec{\omega}_0|\,\vec{n}$

Obtenemos el módulo de $\vec{\omega}_0$ a partir de la rapidez de la partícula. Si $C$ es el centro de la circunferencia y $P$ es un punto cualquiera de ella, la velocidad de la partícula puede calcularse como

$\vec{v} = \vec{\omega}_0\times\overrightarrow{CP}$

Pero estos vectores son perpendiculares, por lo que el módulo de la velocidad es

$|\vec{v}| = |\vec{\omega}_0| |\overrightarrow{CP}|$

El radio de la circunferencia es $R =|\overrightarrow{CP}|$ . Esto es cierto para cualquier punto de la circunferencia, en concreto para $P 0$ . Tenemos entonces