Introducción a la física (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Introducción. Modelos y teorías físicas. El método científico
- 1.1 Teorías físicas
- 1.2 Límites de validez
2 Dimensiones
3 Unidades de medida
4 Medidas, estimaciones e incertidumbres
5 Problemas

1 Introducción. Modelos y teorías físicas. El método científico

La Física suele entenderse como la ciencia que describe matemáticamente el comportamiento de los sistemas (y del Universo en general) atendiendo a sus propiedades físicas (y no químicas), esto es, masa, posición, velocidad, carga eléctrica, etc.

Esta definición que, como todas, es parcial e imprecisa, omite un aspecto esencial, el cómo se hace esa descripción matemática del Universo. La Física realmente no describe el Universo o los sistemas, sino que construye un modelo matemático de ellos.

Un ejemplo paradigmático lo tenemos en la figura siguiente, que todos hemos visto más de una vez en alguna de sus múltiples versiones:

Ante esta figura, nuestra primera pregunta debe ser ¿y esto cómo se sabe? No basta con responder “viene en un libro”. Tampoco puede ser por observación directa, ya que el pozo más profundo que se ha cavado mide 12.3 km. Lo que vemos en esta figura ni es una verdad revelada, ni es una observación. Es un modelo de como suponemos que es el interior de la Tierra, a partir de medidas de ondas sísmicas y otras observaciones geológicas.

1.1 Teorías físicas

Todo el conocimiento en física está organizado en teorías (termodinámica, electromagnetismo, relatividad), donde no hay que entender el término en sentido de algo improbable (“es solo una teoría”), sino como de una construcción fisico-matemática basada en el método científico.

A partir de una serie de evidencias empíricas y de consideraciones teóricas, se definen una serie de conceptos básicos (masa, partícula, sólido rígido...) y se formulan una serie de hipótesis o postulados, a partir de los cuales se desarrolla la teoría.

Estos conceptos y postulados permiten construir un “modelo matemático” de la realidad. Esto es, no es que en Física se describa la Realidad, sino que elabora un modelo o analogía que captura los aspectos que se consideren más relevantes de ella. Un electrón no es una partícula o una onda. Un electrón es un electrón. Pero existen modelos que lo describen como partícula y modelos que lo tratan como ondas y cada uno posee una utilidad y una validez concretas.

Para construir una teoría, se empieza tomando solo algunos aspectos relevantes (“supongamos que el burro es esférico”), y posteriormente se le van añadiendo refinamientos y nuevos detalles. Así tenemo en primer lugar el modelo de la partícula material, luego el del sólido rígido, más tarde el del sólido elástico,… cada vez más elaborados (y más complicados matemáticamente).

1.2 Límites de validez

Cada modelo posee unos límites de validez. Solo son aplicables dentro de ciertos rangos de las variables. Fuera de ellos, es de esperar que no se correspondan con la realidad.

Un sólido completamente rígido no existe, pero el modelo de sólido rígido es completamente válido a la hora de estudiar el movimiento de una pieza de un mecanismo. Si en cambio intentamos aplicar este modelo a la propagación del sonido, vemos que no funciona, porque ese fenómeno requiere conocer las deformaciones del sólido. Queda fuera de los límites de validez del modelo.

Una vez que se dispone del modelo, y de los postulados, se hacen predicciones, tanto matemáticas como experimentales. Una teoría no es nada si no puede ser contrastada con la experiencia.

Estas predicciones se comparan con experiencias ya conocidas o con experimentos diseñados al efecto.

Si hay concordancia entre teoría y experimentos, no hay problema y aumenta nuestra confianza en la corrección de la teoría.

Si hay discrepancias entre teoría y un experimento, las razones pueden ser varias:

Que el experimento caiga fuera de los límites de validez de la teoría y haya que revisar el experimento.
Que haya que ajustar y acotar los límites de validez de la teoría.
Que haya que refinar la teoría, incluyendo factores no considerados previamente
Que haya que revisar el modelo matemático y los postulados en que se apoya la teoría
En última instancia, puede que haya que abandonar la teoría por completo y elaborar una nueva.

Consideremos el caso de la caída de los cuerpos.

Aristóteles afirmó que los cuerpos tienden a su lugar natural y por eso las piedras caen y las burbujas suben. Este modelo fracasa cuando se observa que la gravedad actúa sobre todos los cuerpos por igual y por eso esta teoría debe ser abandonada.

Galileo establece que, en ausencia de rozamiento, todos los cuerpos caen con la misma aceleración

$g= 9.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Este modelo es válido si queremos estudiar el movimiento de un proyectil a corta distancia o la caída de los cuerpos.

Falla si hablamos de un misil balístico intercontinental o el movimiento planetario. Por tanto, aunque el modelo de gravedad constante es aplicable cerca de la superficie terrestre, tiene unos límites de validez en unos decenas o centenares de kilómetros.

Newton extendió el trabajo de Galileo al movimiento planetario, elaborando su ley de la Gravitación Universal

$\vec{F}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\vec{u}$

Usando esta ley, Newton predijo correctamente tanto el comportamiento de la manzana (donde vale la teoría galileana) como el de la Luna, el Sistema Solar. Estas leyes permiten diseñar las misiones interplanetarias

No obstante, la teoría de Newton fallaba a la hora de analizar en detalle la órbita de Mercurio, por lo que sus límites de validez los establece el que los campos gravitatorios no sean demasiado intensos.

Einstein reformuló la teoría newtoniana en su Teoría de la Relatividad General. Interpretando la gravedad como geometría llegó a las llamadas ecuaciones de campo de Einstein

$R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}$

Estas ecuaciones contienen tanto los resultados de Galileo como los de Newton, pero al precio de una complejidad mucho mayor. Las ecuaciones de Einstein son necesarias en algunas aplicaciones que requieren una gran precisión como las sincronizaciones de los satélites del sistema GPS.

Aun así no son universalmente válidas. Se sabe que no son aplicables a objetos extremadamente pequeños, como puede ser el centro de un agujero negro.

Vemos entonces que las teorías de alcance limitado pueden ser incluidas dentro de una teoría más general que consiga una mayor precisión, pero que el precio de esta generalidad es una mayor complejidad matemática. Por ello, a menudo hay que hacer un balance entre la precisión de los cálculos y la simplicidad del modelo. Por tanto, es preciso tener siempre claros los límites de validez de una teoría. También podemos apreciar que en ocasiones interesa trabajar con una teoría más limitada pero más simple, que con una más amplia y completa pero que requiere cálculos más difíciles.

2 Dimensiones

2.1 Medidas directas e indirectas

En su versión más simple, una medida es la comparación de un resultado experimental con un patrón (unidad de medida). Esto es, cuando se dice que una distancia mide 3 m lo que se está diciendo es que la longitud medida es 3 veces la de la medida patrón, tomada como 1 m.

A partir de una serie de medidas experimentales directas pueden obtenerse cantidades indirectas o derivadas. Por ejemplo, para medir el área del suelo de una habitación rectangular nos basta con medir las longitudes de dos lados y aplicar la fórmula $S = b h$ . La existencia de estas relaciones permite definir las magnitudes en fundamentales y derivadas.

2.2 Dimensiones de una magnitud

Independientemente de la unidad que se emplee para expresar una magnitud física, estas se clasifican en tipos diferentes, según en la forma que puedan sumarse. Por ejemplo, podemos sumar una distancia de 3 km con una de 2 millas, o podemos sumar 5 kg a 3 libras, pero sabemos que es erróneo sumar 3 con 5 kg. Vemos que hay algo más básico que la unidad de medida y es el tipo de magnitud de que se trata: distancia, masa, tiempo,… A cada uno de estos tipos se denomina dimensión y decimos que una magnitud tiene “dimensiones de distancia” o “dimensiones de masa”.

2.3 Homogeneidad dimensional

Para clasificar las magnitudes tenemos el principio de homogeneidad dimensional que establece que:

En toda ecuación y en toda suma, los términos igualados o sumados deben tener las mismas dimensiones.

Ésta es una forma elegante de decir “no se pueden sumar peras con manzanas”. Este principio constituye una herramienta extremadamente útil para detectar errores en los cálculos. Imaginemos que como resultado de un problema se llega a que una fuerza es igual a

$F = A(r-r^2)\,$

siendo $r$ un radio y $A$ una constante. Esta ecuación es necesariamente incorrecta, sin necesidad de sustituir valor numérico alguno. Estamos sumando una distancia, $r$ , (que tiene dimensiones de longitud) con una distancia al cuadrado (que sería un área). Puesto que estas cantidades poseen dimensiones diferentes, la ecuación no es válida.

Aquí tenemos otro ejemplo de ecuación dimensionalmente incorrecta:

La homogeneidad dimensional permite localizar de forma rápida errores en los resultados de un problema. Así, si en la ecuación anterior hubiéramos omitido el signo de raíz cuadrada el resultado sería dimensionalmente incorrecto y por tanto necesariamente erróneo.

Una relación entre magnitudes no implica ninguna unidad en concreto (solo las dimensiones). Al decir que la distancia Sevilla y Cádiz es la misma que entre Sevilla y Huelva, da igual que la midamos en kilómetros o en pulgadas. Por ello, es incorrecto escribir una ley como

$E = \frac{1}{2}mv^2\,(\mathrm{julios})$ (expresión incorrecta)

ya que la energía podría estar expresada en ergios, calorías, kilovatios·hora o muchas otras, dependiendo de en qué midamos la masa o la velocidad. Por ello, la regla es que si una fórmula es puramente algebraica, no hay que incluir las unidades. Por contra, si se sustituyen uno o todos los valores numéricos, es obligatorio incluir las unidades.

2.4 Ecuaciones dimensionales

Aunque magnitudes diferentes no se pueden sumar, si se pueden multiplicar. Podemos dividir una magnitud con dimensiones de distancia por una con dimensiones de tiempo y obtenemos una magnitud con dimensiones de velocidad. Escribimos esta relación

$[v] = \frac{[x]}{[t]}$

donde el corchete representa “dimensiones”. Debemos insistir en que esta ecuación no nos dice que la velocidad sea igual al espacio partido por el tiempo, sino que sus unidades son las de una distancia dividida por un tiempo (que pueden ser m/s o km/h, por ejemplo).

La homogeneidad dimensional nos permite determinar las dimensiones de cantidades desconocidas. Así, en la ley de Hooke

$F = -kx\,$

nos dice que la constante $k$ tiene dimensiones de fuerza partida por distancia

$[k]=\frac{[F]}{[x]}$

(por ejemplo, se medirá en N/m).

La existencia de relaciones entre dimensiones permite dividir las magnitudes en fundamentales y derivadas. De una relación como

$S = b\cdot h\,$

obtenemos que las dimensiones de área son las de una distancia al cuadrado, lo que podemos escribir como

$[b] = L\qquad\qquad [h] = L\qquad\Rightarrow\qquad [S] = L^2$

De esta forma, las dimensiones de cualquier magnitud se puede expresar como potencias de una serie de magnitudes fundamentales.

Así, por ejemplo, la velocidad equivale al cociente de una distancia dividida por un intervalo de tiempo y por tanto se verifica la ecuación dimensional

$[v] = \frac{[x]}{[t]} = L T^{-1}$

Aquí la distancia y el tiempo son consideradas magnitudes fundamentales y la velocidad una magnitud derivada.

Las magnitudes que se eligen como fundamentales e incluso el número de ellas es arbitrario. En el SI existen siete magnitudes fundamentales: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, cantidad de materia, temperatura termodinámica e intensidad luminosa. Todas las demás son derivadas.

Cada magnitud derivada posee una única ecuación dimensional, caracterizada por los diferentes exponentes de las magnitudes fundamentales.

Magnitud	Relación	Dimensiones
Área	$[S] = [x] 2$	$L^2\,$
Volumen	$[V] = [x] 3$	$L^3\,$
Velocidad	$[v] = [x] / [t]$	$L\,T^{-1}\,$
Aceleración	$[a] = [v] / [t]$	$L\,T^{-2}\,$
Fuerza	$[F] = [m][a]$	$M\,L\,T^{-2}\,$
Trabajo	$[W] = [F][x]$	$M\,L^2T^{-2}\,$
Potencia	$[P] = [W] / [t]$	$M\,L^2T^{-3}\,$

Teniendo las ecuaciones dimensionales de las diferentes magnitudes que aparecen en una ecuación, podemos establecer de forma sistemática si es dimensionalmente correcta.

Así, por ejemplo, la ecuación para una velocidad de impacto con el suelo

$v = \sqrt{2gh}$

con $h$ la altura inicial, $v$ la velocidad de impacto y $g$ la aceleración de la gravedad, cumple

$\frac{L}{T} = \left(1\cdot\frac{L}{T^2}\cdot L\right)^{1/2} = \frac{L}{T}$

y por tanto es dimensionalmente correcta.

Hay que repetir que la homogeneidad es independiente de las unidades que se empleen para medir las cantidades. Por lo que sabemos, $h$ podría estar medido en leguas, y $v$ en micras/semana. Las dimensiones de una magnitud son algo más básico que las unidades en que se midan.

3 Unidades de medida

Las unidades de medida son arbitrarias y, en muchas ocasiones, se definen unidades específicas para un problema concreto. Por ejemplo, cuando se dice que un accidente ocurrió a medio camino entre Sevilla y Madrid, se está tomando como unidad de medida la distancia Sevilla-Madrid y se está diciendo que el accidente ocurrió en $x = 0.5 u$ .

Para poder hacer los resultados fácilmente interpretables y trasladables a otras situaciones, es preferible emplear un sistema de unidades estandarizado. De entre los diferentes sistemas de unidades en uso, el más aceptado y preceptivo legalmente en España, es el Sistema Internacional de Unidades (SI), que ha evolucionado desde el sistema métrico decimal elaborado durante la Revolución Francesa.

3.1 Homogeneidad en las unidades

En una fórmula que relaciona valores de diferentes magnitudes, cuando los valores de éstas se sustituyen, incluyendo sus unidades, también debe cumplirse la homogeneidad entre las unidades, esto es, que el primer miembro debe medirse en las mismas unidades que el segundo. Por ejemplo, supongamos que en la ecuación anterior $v = \sqrt{2gh}$ , $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ ; y $h = 10\,\mathrm{km}$ . En ese caso, la velocidad resultante sería

$v = \sqrt{2gh}= \sqrt{2\cdot 9.8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot 10\,\mathrm{km}} = 14\,\frac{\sqrt{\mathrm{km}}\sqrt{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}}$

Este resultado, aunque algebraicamente correcto, no posee una forma conveniente por la aparición de potencias fraccionarias de las unidades. Por ello, debe procurarse que el uso de las unidades sea consistente. Expresando la altura en metros

$v = \sqrt{2gh}= \sqrt{2\cdot 9.8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot 10\,000\mathrm{m}} = 443\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Este ejemplo ilustra los peligros de sustituir los valores numéricos de las magnitudes sin incluir sus unidades correspondientes. Una respuesta tal como “14” sin más datos, a la pregunta de cuál es la velocidad, sería absolutamente errónea.

3.2 El Sistema Internacional de Unidades

Este sistema de unidades es de obligado cumplimiento en España de acuerdo con el R.D. 2032/2009 (BOE del 21/01/2010, revisado el 18/02/2010).

El SI se basa en siete unidades básicas:

Magnitud	Unidad	Abreviatura
Longitud	metro	m
Masa	kilogramo	kg
Tiempo	segundo	s
Intensidad de corriente	amperio	A
Temperatura	kelvin	K
Cantidad de sustancia	mol	mol
Intensidad luminosa	candela	cd

A partir de estas unidades básicas se construyen una infinitud de unidades derivadas, mediante productos de potencias de las unidades básicas. Muchas de estas unidades poseen nombre propio, así por ejemplo, 1 hercio (Hz) es igual a 1 s⁻¹, 1 newton (N) es igual a 1kg·m/s² y 1 julio (J) equivale a 1kg·m²/s².

Para obtener unidades derivadas en el SI, basta aplicar las ecuaciones dimensionales. Así, para las magnitudes anteriores

Magnitud	Dimensiones	Unidad SI
Área	$L^2\,$	$1\,\mathrm{m}^2\,$
Volumen	$L^3\,$	$1\,\mathrm{m}^3\,$
Velocidad	$L\,T^{-1}\,$	$\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\,$
Aceleración	$L\,T^{-2}\,$	$1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,$
Fuerza	$M\,L\,T^{-2}\,$	$1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,$
Trabajo	$M\,L^2T^{-2}\,$	$1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\,$
Potencia	$M\,L^2T^{-3}\,$	$1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3\,$

Mención especial merecen una unidad adimensional: el radián.

Un ángulo medido en radianes se define como el cociente entre la longitud de un arco de circunferencia y el radio de dicha circunferencia

$\alpha = \frac{L}{R}$

y por tanto

$1\,\mathrm{rad} = \frac{1\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{m}} = 1$

esto es, el radián es una forma diferente de llamar a la unidad, aportando información sobre la magnitud que miden. Así en la relación entre la frecuencia angular ω y la frecuencia natural f

$\omega = 2\pi f\,$

la primera magnitud de mide en rad/s, mientras que la segunda se mide en Hz = 1/s. Esta ecuación es dimensionalmente correcta, por ser adimensional el radián. Esto quiere decir, en la práctica, que el radián es una unidad que puede aparecer y desaparecer de las ecuaciones a voluntad.

3.3 Múltiplos y submúltiplos

Las unidades del SI pueden resultar demasiado grandes o demasiado pequeñas para un problema concreto, por lo que se suelen acompañar de prefijos que indican múltiplos o submúltiplos

Prefijo	Símbolo	10ⁿ	Prefijo	Símbolo	10ⁿ
deca	da	10¹	deci	d	10⁻¹
hecto	h	10²	centi	c	10⁻²
kilo	k	10³	mili	m	10⁻³
mega	M	10⁶	micro	μ	10⁻⁶
giga	G	10⁹	nano	n	10⁹
tera	T	10¹²	pico	p	10⁻¹²
peta	P	10¹⁵	femto	f	10⁻¹⁵
exa	E	10¹⁸	atto	a	10⁻¹⁸
zetta	Z	10²¹	zepto	z	10⁻²¹
yotta	Y	10²⁴	yocto	y	10⁻²⁴

Muchas unidades que son realmente múltiplos de unidades fundamentales poseen nombre propio. Así, por ejemplo 1 hectárea (Ha) es igual a 10000 m² y 1 gramo es igual a 0.001 kg (siendo el kilogramo la unidad fundamental).

3.4 Conversión de unidades

Es frecuente la necesidad de transformar una magnitud expresada en ciertas unidades a un sistema de unidades diferente. La forma más sistemática de realizar esta operación es con la ayuda de factores de conversión, que son fracciones cuyo numerador y denominador corresponden al mismo valor de una magnitud, expresada en unidades diferentes. Para transformar una expresión de un sistema a otro se multiplica por los factores de conversión necesarios hasta que el resultado final queda en las unidades deseadas, una vez que se cancelen las unidades que aparecen en las diferentes fracciones.

Así, para pasar de km/h a m/s el procedimiento sería

$1\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 1\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\times\frac{1\,\mathrm{h}}{60\,\mathrm{min}}\times \frac{1\,\mathrm{min}}{60\,\mathrm{s}} = \frac{5}{18}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 0.2777...\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Obsérvese que es importante que los factores en los numeradores y denominadores se cancelen correctamente.

Un procedimiento sistemático para abordar un problema en el que los diferentes datos se den en unidades de sistemas diferentes, consiste en primer lugar en transformar todas las cantidades al SI, operar exclusivamente en este sistema (aunque ello implique el uso de numerosas potencias de 10) y finalmente transformar el resultado final a aquellas unidades que resulten más convenientes.

4 Medidas, estimaciones e incertidumbres

Una medida es una comparación con una unidad, siendo esta arbitraria, como hemos dicho. Cada medida posee un valor numérico que expresa cuántas veces contiene a la unidad.. Así cuando decimos “tuve un accidente a mitad de camino”, matemáticamente se expresará

$x_\mathrm{accidente} = 0.5\,\mbox{camino}$

siendo “camino” nuestra unidad. Ahora bien, ese 0.5 sin duda no es una cantidad exacta, sino que se trata de una estimación bastante incierta. Incluso en las situaciones reales en las que se emplean aparatos de medida, los valores de éstas poseen una cierta incertidumbre, proveniente de las limitaciones del aparato de medida o de las condiciones en que se realiza esta. Lo mismo se aplica a toda cantidad derivada de una medida.

4.1 Órdenes de magnitud

A la hora de resolver un problema, conviene siempre analizar los resultados con espíritu crítico y plantearse si son razonables o absurdos. Por ejemplo, en un examen reciente se preguntaba el tiempo necesario para derretir un bloque de medio kilo de hielo que se sumergía en agua a 20 °C. Entre las respuestas de los alumnos se encontraban alguna que decía que tardaba 4 s en fundirse y otra que afirmaba que se necesitaban 11000 años. Ambos extremos son claramente absurdos y deberían haber sido rechazados por los mismos que los obtuvieron. Nunca es un argumento válido “es lo que sale en la calculadora”.

Para juzgar los resultados es conveniente en primer lugar estar familiarizado con los valores típicos de las magnitudes, para tener algún punto de comparación. Lo importante de estos valores típicos no son sus expresiones decimales, sino sus órdenes de magnitud: la potencia de 10 más cercana a ellos.

Una ilustración muy clara de los órdenes de magnitud aplicados a distancia es el documental “potencias de diez”, que ha sido adaptado también en la web.

Así, tendríamos, por ejemplo

Distancia (m)	Sistema típico
$10^{-15}\,\mathrm{m}\ (\mathrm{fm})$	Núcleo atómico
$10^{-10}\,\mathrm{m}\ (0.1\mathrm{nm})$	Átomo
$10^{-6}\,\mathrm{m}\ (\mu\mathrm{m})$	Célula
$10^{-3}\,\mathrm{m}\ (\mathrm{cm})$	Hormiga
$10^0\,\mathrm{m}\ (\mathrm{m})$	Ser humano
$10^4\,\mathrm{m}\ (10\,\mathrm{km})$	Sevilla
$10^6\,\mathrm{m}\ (1000\,\mathrm{km})$	España
$10^7\,\mathrm{m}\ (10000\,\mathrm{km})$	Tierra
$10^{11}\,\mathrm{m}$	Distancia Tierra-Sol
$10^{16}\,\mathrm{m}$	Distancia a Alfa Centauri
$10^{21}\,\mathrm{m}$	Tamaño de la Vía Láctea

Al pasar de un orden de magnitud al siguiente estamos multiplicando por 10 los rangos de las magnitudes. Así, para distancias, tenemos distancias “del orden del cm”, “del orden del mm”. etc.

Las magnitudes físicas cuyos valores abarcan muchos órdenes de magnitud suelen representarse en una escala en la que la distancia entre órdenes de magnitud sucesivos es siempre la misma. Un ejemplo típico de esto es la descripción del espectro electromagnético

Las escalas de este tipo se denomina logarítmicas, porque lo que está equiespaciado no son las distancias, sino sus logaritmos. Así midiendo todas las distancias en metros, un mm tiene logaritmo decimal -3, un cm -2, un km +3 y así sucesivamente. De un orden de magnitud al siguiente el logaritmo decimal aumenta en una unidad.

La frontera entre órdenes de magnitud sucesivos no están definidas de forma tajante. Sin embargo, al hablar de una distancia de 8mm, por ejemplo, ¿diríamos que es del orden del mm o del cm? Aunque se mida en mm, su valor nos inclinaría a considerarla del orden del cm, que está más cerca. ¿Qué significa en este contexto “más cerca”? Podemos definirlo como que se encuentra a menos de medio órden de magnitud de la unidad más próxima. Considerando que estamos trabajando con logaritmos, sería

$\left|\log_{10}(x) - \log_{10}(u)\right| \leq 0.5$

o, equivalentemente

$10^{-0.5}\leq \frac{x}{u}\leq 10^{0.5}\qquad \Rightarrow\qquad 0.316 \leq \frac{x}{u}\leq 3.16$

Puesto que las fronteras no son precisas, podemos decir que entre 0.3mm y 3mm consideraremos la distancia del orden del mm, entre 3mm y 3cm del orden del cm y así sucesivamente.

4.2 Estimaciones

Además de conocer valores típicos, conviene hacer estimaciones respecto al orden de magnitud de los resultados. Estas estimaciones no se obtienen resolviendo exactamente el problema, sino a partir de aproximaciones razonables y operaciones sencillas (usualmente multiplicaciones y divisiones).

Por ejemplo, si nos preguntamos ¿cuántos pelos tiene una persona en su cabeza, en promedio? ¿Cuál sería el orden de magnitud del resultado? ¿Diez mil, cien mil, un millón, diez millones? Podemos estimarlo de esta forma: los cabellos crecen sobre un casquete aproximadamente semiesférico, de circunferencia unos 60 cm. La densidad de cabellos en este casquete no es uniforme, pero visualizando un cm² de piel, podemos estimar que el número de cabellos que parten de él es del orden de 100 (probablemente algo menos, pero eso no afecta al orden de magnitud). Por tanto

$N \sim (2\pi R^2) d = \frac{L^2}{2\pi} d = \frac{(60\,\mathrm{cm})^2}{6.28}\,\frac{100\,\mathrm{pelos}}{1\,\mathrm{cm}^2}\sim 10^5\,\mathrm{pelos}$

Esto es una estimación, claro está, y el número exacto para cada persona podrá ser menor o mayor, pero del mismo orden. Lo que está claro es que no tenemos un millón de pelos (que implicaría unos 1000 cabellos por cm² lo que es excesivo). Un estudio científico (basado en contar los pelos de una serie de personas, mostró que el valor medio era dependiente del color de los cabellos yendo desde unos 140 000 para los rubios a 90 000 para los pelirrojos, con castaños y morenos en medio).

4.3 Cifras significativas

El valor de una medida podrá escribirse entonces en la notación científica, por ejemplo

$x = 0.00174\,\mathrm{cm} = 1.74\times 10^{-5}\,\mathrm{m}$

donde la potencia de diez representa el orden de magnitud y lo que la multiplica (conocido como “la mantisa”) nos da la información de que disponemos sobre el valor de la medida, así como de su precisión. Se denomina número de cifras significativas a la cantidad de cifras cuyo valor conocemos. Así 1.74 tiene tres cifras significativas. Y 0.00174 también, ya que los ceros iniciales nos dan el orden de magnitud pero no el valor de la medida.

El número de cifras significativas nos informa de la precisión de las medidas. Una regla básica de operación es que la incertidumbre de los datos se propaga a los resultados (“de donde no hay no se puede sacar”), de forma que si partimos de un dato con tres cifras significativas, no vamos a obtener un resultado con 10.

Por ejemplo, consideremos de nuevo la fórmula de la velocidad de impacto

$v = \sqrt{2gh}$

y supongamos que queremos hallar la velocidad con la llega una partícula pesada que cae desde unos cinco metros de altura. Podríamos pensar que

$v = \sqrt{2 g h}= \sqrt{2\times 9.8\times 5}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \sqrt{98} \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= 3.130495168\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (EXPRESIÓN INCORRECTA)

ya que esto implica que conoceríamos la velocidad con infinita precisión, lo cual es imposible. Teniendo en cuenta que hemos dado un periodo con una sola cifra significativa (“unos cinco metros”, puede ser también 5.1 metros o 4.9 metros), la expresión correcta del resultado sería

$v = \sqrt{2 g h}= \sqrt{2\times 9.8\times 5}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \sqrt{98} \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\simeq 3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

4.4 Incertidumbres

Todo dato experimental, y toda cantidad obtenida a partir de medidas experimentales, además de poseer un cierto valor, lleva implícita una cierta incertidumbre (también conocida como “error”, aunque este término induce a confusión). Por las limitaciones de los aparatos de medida y por las condiciones en que se realizan éstas, todo lo más que se puede afirmar es que el resultado se encuentra dentro de un cierto rango.

Por ejemplo, si se mide el diámetro de una pelota de tenis con una regla graduada en milímetros y se obtiene un valor de 67 mm, lo más que se puede decir es que el diámetro se encuentra entre 66.5 mm y 67.5 mm (fuera de este rango ya la medida quedaría más cerca de las marcas vecinas en la regla). Diriamos entonces que la medida posee una incertidumbre de ±0.5 mm

$d\in(66.5\,\mathrm{mm},67.5\,\mathrm{mm})$ o $d = 67.0\pm 0.5\,\mathrm{mm}$

Las incertidumbres se transmiten a los cálculos posteriores. Así, si queremos hallar el volumen de la pelota de tenis, suponiendo esta una esfera perfecta, tendríamos que

$V = \frac{4\pi}{3}R^3 = \frac{\pi d^3}{6}$

Considerando los valores extremos del diámetro quedaría el rango de volúmenes

$V\in \left(153980\,\mathrm{mm}^3,161031\,\mathrm{mm}^3\right)$

o, considerando el valor medio y la anchura del intervalo

$V = 157505\pm 3526\,\mathrm{mm}^3$

Sin embargo, esta expresión tiene demasiadas cifras significativas. Si estamos diciendo que ya la tercera cifra del volumen es incierta, no sirve da nada dar el resto. Una expresión más corrrecta sería

$V = 158000\pm 4000\,\mathrm{mm}^3=158\pm 4\,\mathrm{cm}^3$

Según esto, el conocimiento de la incertidumbre nos limita el número de cifras significativas.

En la resolución de un problema de cuyos datos desconozcamos la incertidumbre, puede admitirse, como regla básica, que la incertidumbre la fija el dato más impreciso, siendo su número de cifras significativas el que deben tener aproximadamente los resultados.