Ejemplos de valores numéricos

De Laplace

1 Enunciado

Las siguientes cantidades representan aproximadamente los valores de las magnitudes de la tabla, expresadas en las unidades fundamentales del SI o productos de ellas. Indique cuál le corresponde a cada una, indicando sus unidades.

1	Peso de una persona	2	Densidad de masa del agua	3	Aceleración de la Tierra alrededor del Sol
4	Masa de la Tierra	5	Diámetro de un glóbulo rojo	6	Distancia Tierra-Sol
7	Altura a la que se encuentra la Estación Espacial Internacional	8	Radio de un átomo	9	Densidad del oro
10	Diámetro de una pelota de golf	11	Espesor de un folio	12	Aceleración de la gravedad
13	Arista de un cubo que contuviera todo el oro del mundo	14	Velocidad de Usain Bolt en los 100m	15	Masa de un m³ de agua
16	Duración de un año	17	Velocidad de una bacteria	18	Periodo de la corriente alterna doméstica
19	Masa del electrón	20	Velocidad de la luz	21	Circunferencia terrestre

A	10⁻³⁰	B	10⁻¹⁰	C	6×10⁻⁶
D	5×10⁻⁵	E	6×10⁻⁵	F	6×10⁻³
G	2×10⁻²	H	5×10⁻²	I	10
J	10	K	20	L	8× 10²
M	10³	N	10³	P	2×10⁴
Q	4×10⁵	R	3×10⁷	S	4×10⁷
T	3×10⁸	U	1.5×10¹¹	V	6×10²⁴

2 Solución

Iremos colocando las parejas, sin un orden concreto, sino más bien por eliminación, comenzando por los valores más conocidos.

12-I. Aceleración de la gravedad: El valor estándar de la aceleración de la gravedad es

$g = 9.80665\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \sim 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

10-H. Diámetro de una pelota de golf: De nuestra experiencia sabemos que ronda los 5 cm, estos es

$d = 5\,\mathrm{cm}\times\frac{1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{cm}} = 5\times 10^{-2}\,\mathrm{m}$

14-J. Velocidad de Usain Bolt en los 100m: El récord mundial de los 100 metros lisos está en 9.58 s, lo cual da una velocidad media algo superior a 10 metros por segundo

$v = \frac{100\,\mathrm{m}}{9.58\,\mathrm{s}}=10.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\sim 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

20-T. Velocidad de la luz: La velocidad de la luz se suele dar como 300 000 km/s, que en las unidades fundamentales del SI equivale a

$c= 3\times 10^5 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\times \frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}=3\times 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

2-M. Densidad de masa del agua: Es muy común oír “la densidad del agua es 1”, pero tal afirmación es incompleta pues no especifica las unidades. La densidad del agua es 1 g/cm³, que en las unidades fundamentales del Sistema Internacional queda

$\rho = 1\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times \frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}}\times\left(\frac{100\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{m}}\right)^3 = 1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$

15-N. Masa de un m³ de agua: A poco que uno lo piense, ve que esta pregunta es equivalente a la anterior

$m = \rho V = 1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{kg}$

21-S. Circunferencia terrestre: Una posibilidad consiste en usar el radio de la Tierra, cuyo valor medio es de 6370 km:

$c = 2\pi R = 2\pi\times 6370\,\mathrm{km}\times\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} = 4\times 10^{7}\,\mathrm{m}$

Otra posibilidad consiste en recordar que un metro se definió originalmente como “la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre”, esto es, que un cuarto de circunferencia terrestre tiene 10 millones de metros y por tanto

$c = 4\times 10\times 10^6\,\mathrm{m}=4\times 10^{7}\,\mathrm{m}$

4-V. Masa de la Tierra: La masa de la tierra es la de una esfera con una cierta densidad promedio

$M = \frac{4\pi}{3}R^3\rho$

No conocemos la densidad de la tierra, pero sabiendo que se trata de roca (fundida o no), su densidad será unas cuantas veces la del agua. Si tuviera la densidad del agua, su masa sería

$M = \frac{4\pi}{3}\left(6.37\times 10^6\,\mathrm{m}\right)^3\times 10^3\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \simeq 10^24\,\mathrm{kg}$

Vemos que en la tabla hay un valor próximo, que es 6×10²⁴kg, que tomamos como valor correcto. De postre, obtenemos que la densidad media de la Tierra es de unos 6 g/cm³ (un valor más preciso es 5.5 g/cm³).

16-R. Duración de un año: Esto es solo cuestión de multiplicar. Tenemos que un minuto dura 60 segundos. Una hora es

$1\,\mathrm{h}=60\,\mathrm{min}\times\frac{60\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{min}} = 3600\,\mathrm{s}$

Un día

$1\,\mathrm{d}=24\,\mathrm{h}\times \frac{3600\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}} = 86400\,\mathrm{s}$

y un año

$1\,\mathrm{yr} = 365.25\,\mathrm{d}\times \frac{86400\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{d}}= 3.15\times 10^7\,\mathrm{s}\sim 3\times 10^7\,\mathrm{s}$

Una regla sería decir que un siglo tiene π gigasegundos.

1-L. Peso de una persona: Sobre esto lo primero sería decir que los pesos de las personas pueden ser muy variados, pero consideremos un peso medio de unos 70 kg. Vemos que en la tabla no hay ningún “70”. Observamos entonces que el enunciado habla de peso, no de masa. El pero de una persona de 70 kg sería

$P = 70\,\mathrm{kg}\times 9.80665\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \simeq 7\times 10^{2}\,\mathrm{N}$

Tampoco hay un 700 en la tabla, pero sí hay un 800, que sería el peso de una persona de 80 kg, por lo que decidimos que esta es la respuesta correcta.

6-U. Distancia Tierra-Sol: Esta hay que sabérsela. Pero si uno no la sabe, basta con saber que es muy grande y ya hemos eliminado casi todos los números grandes. Queda el más grande de todos

$d_{TS}= 1.5\times 10^{11}\,\mathrm{m}$

o, como se expresa habitualmente, 150 millones de kilómetros. A esta distancia se la conoce como unidad astronómica (UA).

19-A. Masa del electrón: De nuevo, viene bien conocerla de antemano. Pero si no, es suficiente saber que es minúscula, ya que la masa de un átomo, ya de por sí pequeña, está casi toda en sus protones y neutrones. La masa de un electrón es

$m_e = 9.1\times 10^{-30}\,\mathrm{kg}\sim 10^{-30}\,\mathrm{kg}$

9-P. Densidad del oro: El oro es un metal mucho más denso que el agua. De hecho, es uno de los metales más densos que hay. Por ello, si la densidad del agua es de 1 g/cm³, la del oro debe ser 15 o 20 g/cm³. En unidades del SI, la densidad del oro la situaríamos entre 15000 o 20000 kg/cm³. Vemos que en la tabla aparece este último valor, que será la mejor aproximación. Empleando valores exactos tenemos

$\rho_\mathrm{Au}=19.32\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times \frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}}\times\left(\frac{100\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{m}}\right)^3 = 19\,320\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\sim 2\times 10^4\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$

11-E. Espesor de un folio: Podemos pensar que necesitaremos un calibre de alta precisión para medir el grosor de un folio, pero no es así. En primer lugar, porque es claro, por comparación con una regla, que mide menos de un milímetro de espesor. Segundo, que sabemos que un paquete de 500 folios tiene un espesor de unos 3 o 4 centímetros, por lo que

$e = \frac{3\,\mathrm{cm}}{500}\times \frac{1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{cm}} = 6\times 10^{-5}\,\mathrm{m}$

18-G. Periodo de la corriente eléctrica doméstica: Es conocido que los electrodomésticos trabajan a una frecuencia de 50 Hz, a la cual corresponde un periodo

$T = \frac{1}{f}=\frac{1}{50}\mathrm{s} = 2\times 10^{-2}\,\mathrm{s}$

8-B. Tamaño de un átomo: Un átomo es un ente muy pequeño. El menor valor que nos queda (descartado el de la masa del electrón) es el correcto

$r \sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$

5-C. Diámetro de un glóbulo rojo: Un glóbulo rojo (o eritrocito, o hematíe) es una pequeña célula, que es capaz de pasar, apuradamente, por el interior de un capilar de unas cuantas micras de diámetro, por lo que su diámetro es de este orden

$d \sim 5\,\mu\mathrm{m}\times \frac{1\,\mathrm{m}}{10^6\,\mu\mathrm{m}}=5\times 10^{-6}\,\mathrm{m}$

Vemos que en la tabla el valor que aparece es de 6μm, que es un valor más aproximado al tamaño promedio real de un glóbulo rojo.

7-Q. Altura a la que se encuentra la Estación Espacial Internacional: Esta es una con “trampa” porque muchos piensan que se halla a miles (por no decir millones) de kilómetros de la superficie terrestre. En realidad, se encuentra muy próxima a la superficie, a unos 350 km de ella (esto es, dentro aún de la atmósfera). Expresado en metros

$h \simeq 350\,\mathrm{km}\times \frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\sim 4\times 10^5\,\mathrm{m}$

3-F. Aceleración de la tierra alrededor del Sol. Sobre ésta, uno pensaría que resulta un valor muy grande, ya que la fuerza de atracción gravitatoria producida por el Sol es enorme. A la hora de calcularla parece que nos haría falta conocer las masas de Sol y Tierra para poder emplear las leyes de Newton. No es necesario. El movimiento de la Tierra es aproximadamente circular uniforme, siendo su aceleración

$a= \frac{v^2}{R}$

¿Cuál es la velocidad de la Tierra alrededor del Sol? En un año recorre una distancia

2π R

por lo que su velocidad lineal es igual

$v = \frac{2\pi R}{T}=\frac{2\pi\times 1.5\times 10^11\,\mathrm{m}}{3.15\times 10^7\,\mathrm{s}}\simeq 30000\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La velocidad, de 30 km/s, parece muy grande. La aceleración, en cambio, es muy pequeña

$a = \frac{(3\times 10^4\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{1.5\times 10^{11}\,\mathrm{m}} \sim 6\times 10^{-3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

17-D. Velocidad de una bacteria: la velocidad de una bacteria, desde el punto de vista macroscópico, es muy pequeña, pero relativamente a su tamaño no lo es tanto. Todos hemos visto alguna imagen de microscopio en la que se ve como una bacteria se desplaza un tamaño comparable al suyo propio en un tiempo de un segundo. El tamaño de una bacteria es de unas decenas de micras (un glóbulo rojo es mucho más pequeño que uno blanco, por ejemplo, que sería como una bacteria). Esto nos da

$v \sim \frac{50\,\mu\mathrm{m}}{1\,\mathrm{s}}\times \frac{1\,\mathrm{m}}{10^6\,\mu\mathrm{m}} = 5\times 10^{-5}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

13-K. Arista de un cubo que contuviera todo el oro de la Tierra: Por último un dato curioso. Una estimación del oro extraído en toda la historia de la humanidad, cifra su masa en 160000 toneladas. A esta masa le corresponde un volumen

$V \simeq \frac{1.6\times 10^5\,\mathrm{Tm}}{2\times 10^4\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}\times \frac{1000\,\mathrm{kg}}{1\,\mathrm{Tm}}\simeq 8\times 10^3\,\mathrm{m}^3$

Si este volumen lo colocamos en un cubo, la arista correspondiente mide

$l = \sqrt[3]{V}\sim 20\,\mathrm{m}$

esto es, todo el oro del mundo cabe en un cubo de solo 20 metros de lado.

Reuniendo todos los valores nos queda la correspondencia

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