Fórmulas posiblemente con dimensiones incorrectas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Caso (a)
3 Caso (b)
4 Caso (c)
5 Caso (d)
6 Caso (e)
7 Caso (f)
8 Caso (g)
9 Caso (h)

1 Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema anterior, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas:

a) $\displaystyle W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

b) $\displaystyle v=\frac{x-1}{t-2}$

c) $\displaystyle P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

d) $\displaystyle \int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

e) $\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

f) $\displaystyle \int_0^T (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

g) $\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

h) $\displaystyle \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

2 Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

$W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

tenemos que el trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

$[W]= M L^2T^{-2}\,$

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

$\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,$

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

$[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,$

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

3 Caso (b)

La formula

$\displaystyle v=\frac{x-1}{t-2}$

podría parecer correcta a primera vista. Después de todo, la velocidad tiene dimensiones de distancia dividida por tiempo. Sin embargo no es correcta. La razón está en ese “1” y ese “2” del numerador y el denominador. Si no se dice otra cosa, un número, como el 2, es una cantidad adimensional. Por tanto en el denominador estamos restando una cantidad adimensional a una que sí tiene dimensiones (tiempo), lo que viola el principio de homogeneidad.

Para que una fórmula de este tipo (de las que aparecen a menudo en problemas de libros de texto) sea correcta, debe especificarse previamente que se sobreentiende que todas las unidades están en el SI, de forma que el 1 del numerador quiere decir en realidad "1\thinsp;m" y el 2 del denominador es en realidad “2\thinsp;s”.

Si no se hace así, o se usan unidades que no son del SI, es muy posible que los cálculos de un problema conduzcan a error. Por ejemplo, si se dice que la densidad del agua es “1”, y nada más, y se sustituye así en las fórmulas, casi seguro van a obtenerse resultados incorrectos, ya que realmente es “1\thinso;g/cm³” (o, en el SI 1000\thinsp;kg/m³)

4 Caso (c)

En la expresión

$P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

$(x-\pi R^2)\,$

en la cual se suma una longitud (de dimensión $L$ ) con un área (de dimensión $L 2$ ), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

5 Caso (d)

En la fórmula

$\int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

$\left[\int_0^T \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}$

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

$\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}$

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

6 Caso (e)

Para la fórmula

$\int_{t_1}^{t_2}\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

el razonamiento es idéntico al del caso (c). En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión $T$ ) la inversa de un tiempo (de dimensión $T - 1$ ) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.