Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

Contenido

1 Base vectorial
2 Base ortonormal dextrógira
3 Factores de escala
- 3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!
4 Enlaces

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

Antes de eso, recordamos que la coordenada $z\,$ es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario

$\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,$

Para $\mathbf{u}_{\rho}$ y $\mathbf{u}_{{\varphi}}$ consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por $P\,$ . Al aumentar la coordenada $\rho\,$ nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

$\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}$

El vector $\mathbf{u}_{{\varphi}}$ es tangente a la circunferencia que pasa por $P\,$ , y por tanto perpendicular a la hipotenusa

$\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}$

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma $(\rho,\varphi,z)$ . Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

·	$\mathbf{u}_\rho$	$\mathbf{u}_\varphi$	$\mathbf{u}_z$
$\mathbf{u}_\rho$	1	0	0
$\mathbf{u}_\varphi$	0	1	0
$\mathbf{u}_z$	0	0	1

$\times\,$	$\mathbf{u}_\rho$	$\mathbf{u}_\varphi$	$\mathbf{u}_z$
$\mathbf{u}_\rho$	0	$\mathbf{u}_z$	$-\mathbf{u}_\varphi$
$\mathbf{u}_\varphi$	$-\mathbf{u}_z$	0	$\mathbf{u}_\rho$
$\mathbf{u}_z$	$\mathbf{u}_\varphi$	$-\mathbf{u}_\rho$	0

3 Factores de escala

El factor de escala de la coordenada $z\,$ es el mismo que en cartesianas

$h_z = 1\,$

La coordenada $ρ$ es una distancia, por lo que variar una cantidad $\mathbf{d}\rho\,$ equivale a recorrer una distancia $\mathrm{d}\rho\,$ y

h ρ = 1

La coordenada ${\varphi}$ es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en $\mathrm{d}{\varphi}$ sobre una circunferencia de radio $\rho\,$ , la

distancia recorrida es $\rho\,\mathrm{d}{\varphi}$ y el factor de escala es

$h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho$

3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores $\mathbf{u}_{\rho}\,$ y $\mathbf{u}_{{\varphi}}$ son funciones de la coordenada ${\varphi}$ . Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje $Z\,$ , el vector $\mathbf{u}_{\rho}\,$ en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que " $\mathbf{u}_{\rho}\,$ " no significa siempre lo mismo, ya que