Coordenadas esféricas. Base vectorial

De Laplace

Contenido

1 Base vectorial
2 Base ortonormal dextrógira
3 Factores de escala
4 Enlaces

1 Base vectorial

La coordenada ${\varphi}$ es la misma que en cilíndricas, por lo que su vector unitario es también el mismo

$\mathbf{u}_\varphi = \mathbf{u}_\varphi= -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}$

Para $\mathbf{u}_{r}\,$ y $\mathbf{u}_{\theta}\,$ construimos un nuevo triángulo rectángulo, éste sobre un plano ${\varphi}=\mathrm{cte}$ .

El vector $\mathbf{u}_{r}\,$ va en la dirección radial, por lo que se relaciona con la base cilíndrica como

$\mathbf{u}_{r}= \mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\rho}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}$

y, sustituyendo la relación con la base cartesiana

$\mathbf{u}_{r}=\mathrm{sen}\,\theta\,\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}$

mientras que $\mathbf{u}_{\theta}\,$ es tangente al meridiano de radio $r\,$ y apunta hacia el sur

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\mathbf{u}_{\rho}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$

y, en términos de la base cartesiana,

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base esférica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma $(r,\theta,\varphi)$ (en particular, ¡ojo al orden de los ángulos!). Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

·	$\mathbf{u}_r$	$\mathbf{u}_\theta$	$\mathbf{u}_\varphi$
$\mathbf{u}_r$	1	0	0
$\mathbf{u}_\theta$	0	1	0
$\mathbf{u}_\varphi$	0	0	1

$\times\,$	$\mathbf{u}_r$	$\mathbf{u}_\theta$	$\mathbf{u}_\varphi$
$\mathbf{u}_r$	0	$\mathbf{u}_\varphi$	$-\mathbf{u}_\theta$
$\mathbf{u}_\theta$	$-\mathbf{u}_\varphi$	0	$\mathbf{u}_r$
$\mathbf{u}_\varphi$	$\mathbf{u}_\theta$	$-\mathbf{u}_r$	0