Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

Revisión a fecha de 15:23 7 oct 2019; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Arco capaz
2 Coseno y seno de una diferencia
3 Teoremas del seno y del coseno
4 Construcción de una base

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $A$ , $B$ y $C$ .

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que

El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercero, $\vec{B}$ , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
Supongamos un vector que en la base canónica se escribe