Primera Convocatoria Ordinaria 2014/15 (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 14:50 30 ene 2015; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Disco contenido en plano rotante

Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano $O X 0 Z 0$ (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje $O X 0$ ; además, su centro $C$ se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje $O Z 0$ con velocidad constante $v 0$ . El plano $Π 0$ se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo $Π 1$ , pero girando en sentido antihorario alrededor del eje $O Z 0 = O Z 1$ , con velocidad angular constante de valor $Ω$ . Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano $Π 1$ , en el instante en que el centro $C$ se encuentra a una distancia $d$ del eje $O Z 0,1$ . ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

Un punto material $P$ se mueve recorriendo la circunferencia $Γ$ , contenida en un plano $Π$ , cuya ecuación paramétrica es

$\Pi : \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda\,\vec{a} + \mu\,\vec{b}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$

donde $C$ es el centro de la circunferencia. Para describir analíticamente las magnitudes vectoriales se adopta un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cual $\vec{a} = 2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath}$ y $\vec{b} = \vec{\jmath} - \vec{k}$ , y la posición de $C$ está determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OC}=\vec{\jmath} + \vec{k}$ (con las componentes medidas en metros). En el instante inicial $(t = 0)$ , el punto móvil $P$ ocupa la posición determinada por el segmento orientado $\overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath}$ . A partir de ésta, la partícula realiza un movimiento circular uniforme, con velocidad de $2\,\mathrm{m/s}$ . Determine el vector rotación instantánea $\vec{\omega}_0$ que caracteriza este movimiento circular.

3 Partícula moviéndose sobre una hélice

Una partícula $P$ de masa $m$ está insertada en la hélice fija y uniforme $Γ$ . Utilizando un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector $\vec{g}=-g\vec{k}$ , la ecuación parámetrica de dicha hélice es:

$\Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k} \left\{ \begin{array}{l} x(\theta) = a\cos\theta\\ \\ y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \\ z(\theta) = \lambda\,\theta \end{array} \right.$

donde $a$ y $λ$ son constantes. EL parámetro geométrico $θ$ es el ángulo que forma con el eje $O X$ la proyección del radio-vector $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ sobre el plano horizontal $O X Y$ . Cuando la partícula recorre la hélice $Γ$ , sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria $θ(t)$ .

Determine cuál debe ser el valor de la constante $λ$ para que el radio de curvatura de la hélice sea $R κ = 3 a / 2$ . ¿Qué distancia $h$ asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje $O Z$ .
Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria $θ(t)$ y/o sus derivadas.
Discuta razonadamente si se verificará la conservación (total o parcial) del momento cinético $\vec{L}_O$ de la partícula, calculado respecto del punto fijo $O$ .

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