Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Base vectorial)
Línea 14: Línea 14:
<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
 +
 +
Los vectores de la base cartesiana forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si se ordenan en la forma tradicional''' <math>\left\{\mathbf{u}_x,\mathbf{u}_y,\mathbf{u}_z\right\}</math>. Los productos escalares vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
 +
 +
[[Imagen:car-mano.png|right]]<center>
 +
{| class="bordeado"
 +
|-
 +
! &middot;
 +
! <math>\mathbf{u}_x</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_y</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_x</math>
 +
| 1
 +
| 0
 +
| 0
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_y</math>
 +
| 0
 +
| 1
 +
| 0
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| 0
 +
| 0
 +
| 1
 +
|}
 +
 +
 +
{| class="bordeado"
 +
|-
 +
! <math>\times\,</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_x</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_y</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_x</math>
 +
| '''0'''
 +
| <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_y</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_y</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_z</math>
 +
| '''0'''
 +
| <math>\mathbf{u}_x</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| <math>\mathbf{u}_y</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_x</math>
 +
| '''0'''
 +
|}
 +
</center>
==Factores de escala==
==Factores de escala==

Revisión de 20:47 21 nov 2007

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

Los vectores de la base cartesiana forman una base ortonormal dextrógira si se ordenan en la forma tradicional \left\{\mathbf{u}_x,\mathbf{u}_y,\mathbf{u}_z\right\}. Los productos escalares vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 1 0 0
\mathbf{u}_y 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_y
\mathbf{u}_y -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_x
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_y -\mathbf{u}_x 0

2 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


2.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

3 Enlaces

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cil%C3%ADndricas._Base_vectorial"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace