Coordenadas cilíndricas. Base vectorial
De Laplace
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última version al 17:18 13 abr 2010
Contenido |
1 Base vectorial
Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.
- Antes de eso, recordamos que la coordenada es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
- Para y consideramos un triángulo rectángulo en
el plano horizontal que pasa por . Al aumentar la coordenada nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que
- El vector es tangente a la circunferencia que pasa por , y por tanto perpendicular a la hipotenusa
2 Base ortonormal dextrógira
Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma . Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
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1 | 0 | 0 | |
0 | 1 | 0 | |
0 | 0 | 1 |
0 | |||
0 | |||
0 |
3 Factores de escala
- El factor de escala de la coordenada es el mismo que en cartesianas
- La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad equivale a recorrer una distancia y
- La coordenada es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en sobre una circunferencia de radio , la
distancia recorrida es y el factor de escala es
3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!
Los vectores y son funciones de la coordenada . Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje , el vector en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "" no significa siempre lo mismo, ya que