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Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Base vectorial)
(→Base ortonormal dextrógira)
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Revisión de 20:50 21 nov 2007

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma (\rho,\varphi,z). Los productos escalares vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 1 0 0
\mathbf{u}_\varphi 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_\rho
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_\rho 0

3 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

4 Enlaces

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cil%C3%ADndricas._Base_vectorial"

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