Primera Prueba de Control 2012/13 (F1 G.I.A.)
De Laplace
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[[Archivo:resortes_PC1_0.gif|right]]El sistema de la figura está formado por dos barras fijas conectadas en el punto <math>O</math> y dirigidas, una en la dirección de la vertical gravitatoria <math>OX</math>, y otra en una dirección horizontal <math>OY</math>. Una partícula pesada <math>P</math>, de masa <math>m</math>, se halla ensartada en la barra vertical, pudiendo deslizar por ella sin rozamiento. Un segundo punto material <math>A</math>, cuya masa es despreciable, está obligado a moverse siempre en la barra horizontal. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora <math>K_1</math> tiene conectados cada uno de sus extremos a dichos puntos móviles. Un segundo resorte de constante <math>K_2</math> y longitud natural <math>l_0</math> conecta la partícula sin masa <math>A</math> con el punto fijo <math>O</math>. Considerando que el rozamiento entre la barra horizontal y la partícula A es también despreciable, determine las posiciones que ocupan las partículas y las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre ellas cuando ambas se encuentran en equilibrio. | [[Archivo:resortes_PC1_0.gif|right]]El sistema de la figura está formado por dos barras fijas conectadas en el punto <math>O</math> y dirigidas, una en la dirección de la vertical gravitatoria <math>OX</math>, y otra en una dirección horizontal <math>OY</math>. Una partícula pesada <math>P</math>, de masa <math>m</math>, se halla ensartada en la barra vertical, pudiendo deslizar por ella sin rozamiento. Un segundo punto material <math>A</math>, cuya masa es despreciable, está obligado a moverse siempre en la barra horizontal. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora <math>K_1</math> tiene conectados cada uno de sus extremos a dichos puntos móviles. Un segundo resorte de constante <math>K_2</math> y longitud natural <math>l_0</math> conecta la partícula sin masa <math>A</math> con el punto fijo <math>O</math>. Considerando que el rozamiento entre la barra horizontal y la partícula A es también despreciable, determine las posiciones que ocupan las partículas y las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre ellas cuando ambas se encuentran en equilibrio. | ||
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Revisión de 14:04 26 nov 2012
Contenido |
1 Posición de vértices y volumen de un paralelepípedo
Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema dereferencia cartesiano son:
![O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}](/wiki/images/math/1/f/a/1fa58a826e6ea132f8cd3b8e7eb79808.png)
medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores
![\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.](/wiki/images/math/9/9/3/99346f52ba648ccf9a5195edb3aa4570.png)
y calcule el volumen del paralelepípedo.
2 Movimiento instantáneo de una partícula
Una partícula P se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ de manera que en un cierto instante t0, su velocidad y su aceleración
están descritas, respectivamente, por los vectores
![\vec{v}=\vec{\imath}+\sqrt{3}\!\ \vec{k}\quad\mathrm{y}\quad\vec{a}=\vec{\imath}+\sqrt{5}\vec{\jmath}-\sqrt{3}\!\ \vec{k}\mathrm{,}](/wiki/images/math/e/7/a/e7afb8e70ab87b9cadd3f31c3844d09b.png)
con sus componentes medidas en m / s2. Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:
- Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
- Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
- Vector aceleración normal.
3 Partícula ensartada en aro horizontal
Una partícula P de masa m se mueve ensartada en un aro de radio R, contenido en el plano cartesiano OXY, y cuyo centro se encuentra en un punto de dicho plano, de coordenadas C(R,0,0). La partícula, que en el instante inicial (t = 0) se encuentra en el punto A de coordenadas A(2R,0,0), se mueve de manera que el ángulo![\varphi](/wiki/images/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
![\vec{r}=\overrightarrow{OP}](/wiki/images/math/2/e/7/2e7e5e9429ee9c9e56d3efcfc37471eb.png)
![\dot{\varphi}(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=\omega_0\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}](/wiki/images/math/d/2/4/d24d7c6ac68a6d62bd468d0d9609a7a4.png)
- Obtenga una expresión paramétrica de la trayectoria.
- Ley horaria para el módulo de la velocidad (celeridad).
- Componentes intrínsecas de la aceleraciónde la partícula cuando esta pasa por el punto O.
- Fuerzas aplicadas, expresadas en el triedro instrínseco.
4 Sistema equivalente a dos resortes alineados
Una partícula pesada P de masa m, se halla en equilibrio por la acción de dos resortes, uno de constante recuperadora K1 y longitud natural l1, y otro de constante recuperadora K2 y longitud natural l2, tales que K1l1 = K2l2. El primer resorte tiene un extremo conectado a P y el otro a un punto fijo O; el segundo resorte se conecta a la partícula y a un punto fijo A, separado de O por una distancia d. En la situación de equilibrio, los puntos O, P y A están alineados en la dirección y el sentido de![\vec{g}](/wiki/images/math/8/d/4/8d4ff7d497f173923a5d39f5be01e831.png)