Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2012 (F1 GIA)

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos

O

,

A

,

B

y

C

son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que

O

y

A

se encuentran en un plano distinto al que contiene a

B

y

C

. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de referencia cartesiano son: $O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}$

medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores

$\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.$

y calcule el volumen del paralelepípedo.

2 Solución

Para resolver este sencillo ejercicio basta con aplicar las definiciones y propiedades de los dos operaciones que dotan de estructura de espacio vectorial al conjunto de los segmentos orientados en $\mathrm{I}\!\mathrm{R}^3$ , ordenados como vectores libres. Como se sabe, dichas operaciones son la suma de vectores (según la ley del paralelogramo), y el producto de un vector por un escalar (en general, un número real).

Definamos los vectores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , que tienen la dirección, el sentido y el módulo de los segmentos orientados $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$ :

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}=(\sqrt{3}+1)\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OB}=\vec{b}=\vec{\imath}+\vec{k}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{OC}=\vec{c}=\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}+2\!\ \vec{\jmath}+\vec{k}$

Obsérvese que, según la definición geométrica de la suma de vectores, se verificarán las siguientes relaciones:

$\begin{array}{l} \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}\\ \vec{b}=\vec{u}+\vec{w}\\ \vec{c}=\vec{v}+\vec{w}\end{array}$

Por tanto, si al vector $\vec{a}$ le sumamos el opuesto del vector $\vec{c}$ , se tendrá...

$\vec{a}+(-\vec{c})=\vec{u}+\vec{v}+(-\vec{v}-\vec{w})=\vec{u}-\vec{w}$

Y si al vector resultante se le suma el vector $\vec{b}$ , se obtiene:

$\vec{a}-\vec{c}+\vec{b}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{u}+\vec{w}=2\!\ \vec{u}$ $\Rightarrow$ $\vec{u}=\frac{1}{2}\ (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\!\ )=\vec{\imath}-\vec{\jmath}$

Utilizando la primera relación que introdujimos anteriormente, podemos determinar el vector $\vec{v}$ sumándole a $\vec{a}$ el opuesto de $\vec{u}$ :

$\vec{v}=\vec{a}+(-\vec{u})$ $\Rightarrow$ $\vec{v}=\frac{1}{2}\ (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\!\ )=\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}+\vec{\jmath}$

Finalmente, el vector $\vec{w}$ lo podemos obtener de la segunda relación:

$\vec{w}=\vec{b}+(-\vec{u})$ $\Rightarrow$ $\vec{w}=\frac{1}{2}\ (-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\!\ )=\vec{\jmath}+\vec{k}$

Para calcular el valor del volumen del paralelepípedo, tenemos en cuenta que los vectores calculados, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{w}$ , se corresponden con tres segmentos orientados formados a partir de tres aristas adyacentes del paralelepípedo. En consecuencia, el valor absoluto del producto mixto de aquellos vectores es igual al volumen $V$ que se demanda: