Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:31 9 nov 2012

Contenido

1 Ejemplo de movimiento plano en 3D
2 Evolvente de una circunferencia
3 Movimiento de partícula sujeta de un hilo
4 Ejemplo de movimiento rectilíneo
5 Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)
6 Tiro parabólico
7 Movimiento circular en torno a un eje oblicuo
8 Ejemplo de movimiento helicoidal
9 Movimiento descrito en coordenadas polares
10 Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)
11 No Boletín - Adelantamiento entre vehículos (Ex.Nov/11)
12 No Boletín - Anilla ensartada en dos varillas (Ex.Nov/10)
13 No Boletín - Automóviles con m.r.u. y m.r.u.a. (Ex.Nov/12)
14 No Boletín - Bólido con m.c.u. (Ex.Nov/12)
15 No Boletín - Celeridad media a partir de celeridad instantánea (Ex.Nov/12)
16 No Boletín - Celeridad media de un vehículo (Ex.Ene/12)
17 No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)
18 No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)
19 No Boletín - Otra identificación de movimiento (Ex.Nov/11)
20 No Boletín - Otro movimiento de partícula sujeta de un hilo (Ex.Sep/12)
21 No Boletín - Rotación y traslación terrestres

1 Ejemplo de movimiento plano en 3D

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

$\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}$

Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración.
Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Evolvente de una circunferencia

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio $A$ que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto $C$ donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo $θ = ω t$ con el eje $O X$ . Una partícula material se encuentra en el punto $P$ situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

Determine el vector de posición de la partícula.
Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Determine la ley horaria $s = s (t)$ .
Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

3 Movimiento de partícula sujeta de un hilo

Una barra rígida $A B$ de longitud $L$ se mueve en un plano vertical $O X Y$ , manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas $\overrightarrow{OA}= L \vec{\imath}$ , y verificando la ley horaria $θ(t) = 2ω t$ , con $0 \leq \theta \leq \pi$ y siendo $ω =$ cte. Un hilo inextensible de longitud $2 L$ tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto $O$ ), mientras que del otro cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, de forma que el tramo $\overline{BP}$ permanece siempre paralelo al eje $O Y$ (ver figura). Se pide:

Ecuaciones horarias del punto $P$ , $\overrightarrow{OP} = \vec{r}(t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}$ .
Instante del tiempo $t M$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$ , en el instante considerado en el apartado anterior.

4 Ejemplo de movimiento rectilíneo

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si $x (t)$ es la posición a lo largo de la recta y $v (t)$ la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

$v = \sqrt{k x}$

Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
Si en $t = 0$ la partícula se encuentra en $x = x 0$ , ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

5 Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)

Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula $\,\vec{a}(t)=-Kt\,\vec{\imath}\,\,$ , donde $K\,$ es una constante de valor igual a 8.00 m/s $3$ . ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?

6 Tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}$

una posición inicial nula ( $\vec{r}_0=\vec{0}$ ) y una velocidad inicial que forma un ángulo $α$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v 0$ .

Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

7 Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector $\vec{c}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$ . La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en $t = 2\,\mathrm{s}$ la partícula se encuentra en $\vec{r}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{m}$ calcule, para este instante

La velocidad y la aceleración.
Las componentes intrínsecas de la aceleración.

8 Ejemplo de movimiento helicoidal

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

$\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$

donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

$\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,$

donde $Ω 0$ y $β$ son constantes conocidas.

Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro $θ$ y del tiempo.
Halle la rapidez del movimiento.
Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
Para el instante $t = 0$ calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

9 Movimiento descrito en coordenadas polares

En un plano descrito mediante coordenadas polares, se mueve una partícula conforme a las ecuaciones horarias

$\rho(t)=A\cos(\omega t)\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\omega t\,$

donde $A$ y $ω$ son constantes conocidas.

Calcule la rapidez del movimiento.
Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
Determine los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada instante.
Calcule el radio de curvatura.

10 Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)

Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho(t)=\rho_0e^{-\omega t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \theta(t)=\omega t\,$

donde $\rho_0\,$ y $\omega\,$ son constantes conocidas.

Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
Calcule el radio de curvatura.

11 No Boletín - Adelantamiento entre vehículos (Ex.Nov/11)

Dos vehículos (A y B) avanzan por una misma carretera con celeridades variables en el tiempo pero tales que en todo instante se cumple que $\,v_B(t)=2\,v_A(t)$ . El vehículo lento (A) va inicialmente por delante porque partió de un punto más adelantado. En cierto instante, y justo en una curva, el vehículo rápido (B) da alcance al lento (A). ¿Cuáles son las relaciones entre las respectivas aceleraciones tangenciales y entre las respectivas aceleraciones normales de ambos vehículos en el preciso instante del adelantamiento? ¿Son dichas relaciones necesariamente ciertas también para todo instante anterior o posterior al adelantamiento?

12 No Boletín - Anilla ensartada en dos varillas (Ex.Nov/10)

Una pequeña anilla $P$ se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad $L$ y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante $Ω$ de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

¿Cuáles son las ecuaciones horarias de $P$ ?
¿Qué clase de trayectoria describe?
¿Qué tipo de movimiento realiza?

13 No Boletín - Automóviles con m.r.u. y m.r.u.a. (Ex.Nov/12)

Un automóvil A recorre el eje OX con una velocidad constante $\,\vec{v}_A=72\,\vec{\imath} \,$ km/h, hallándose en el punto $\,x=0\,\,$ en el instante $\,t=0\,$ . En ese mismo instante un segundo automóvil B, que se encontraba en reposo en el punto $\,x=d>0\,$ , comienza a moverse con una aceleración constante $\,\vec{a}_B=0.8\,\vec{\imath}\,$ m/s $2$ .

¿Cuál era la distancia $\,d\,\,$ que separaba a ambos automóviles en el instante inicial si observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo?

14 No Boletín - Bólido con m.c.u. (Ex.Nov/12)

La gravedad media en la superficie terrestre (g = 9.80665 m/s $2$ ) es utilizada a veces como unidad de aceleración. Sea un bólido que recorre con celeridad constante un circuito circular de diámetro igual a 1500 yardas (1 yd = 0.9144 m) y que tarda exactamente 1 minuto en completar cada vuelta. ¿Cuánto vale la aceleración (en módulo) de dicho bólido?

15 No Boletín - Celeridad media a partir de celeridad instantánea (Ex.Nov/12)

Un punto material recorre cierta trayectoria con una celeridad que varía en el tiempo según la fórmula:

$v(t)=\frac{K}{t^3}\;\;\;\;\; \mathrm{(para}\,\,t>0\mathrm{)}$

siendo $K\,$ una constante de valor igual a 1 m $\,\cdot\,$ s $2$ .

¿Cuál es la celeridad media del punto material en el intervalo de tiempo transcurrido entre t=1s y t=3s?

16 No Boletín - Celeridad media de un vehículo (Ex.Ene/12)

Un automóvil recorre cierto trayecto del siguiente modo: la mitad de su longitud con celeridad constante de 120 km/h, y la otra mitad con celeridad constante de 60 km/h. ¿Cuál ha sido su celeridad media en el recorrido total?

17 No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)

Una partícula de masa $m$ describe un movimiento circular de radio $R$ , tal que su velocidad angular instantánea cumple

$\omega = k\theta\,$

con $k$ una constante y $θ$ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo $θ$ .
Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal.

18 No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

$\vec{r}(t)=A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+2A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\vec{\jmath}+2A\cos^2(\omega t)\vec{k}$

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Determine la ley horaria $s (t)$ . Suponga que $s (0) = 0$ .
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

19 No Boletín - Otra identificación de movimiento (Ex.Nov/11)

Un punto material se mueve con ecuación horaria:

$\vec{r}(t)=12A\,\mbox{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+5A\,\mbox{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}+13A\,\mbox{cos}(\omega t)\,\vec{k}$

donde $A\,$ y $\omega\,$ son constantes conocidas.

Determine la ley horaria $s (t)$ suponiendo que $s (0) = 0$ .
Determine el triedro de Frenet y el radio de curvatura en cada instante.
Identifique el tipo de movimiento.

20 No Boletín - Otro movimiento de partícula sujeta de un hilo (Ex.Sep/12)

La barra rígida $AB\,$ , de longitud $L\,$ , se halla contenida en el plano vertical $OXY\,$ y rota alrededor de su extremo fijo $A\,$ , cuya posición viene dada por $\,\overrightarrow{OA}=L\,\vec{\imath}$ . Un hilo inextensible, de longitud $2L\,$ , tiene uno de sus extremos conectado a un deslizador puntual $Q\,$ que puede desplazarse sobre el eje vertical $OY\,$ , mientras que del otro extremo cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo tenso.

El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, y el movimiento del mecanismo es tal que el tramo $QB\,$ permanece siempre paralelo al eje $OX\,$ , y el tramo $BP\,$ permanece siempre paralelo al eje $OY\,$ (ver figura).

Determine el vector de posición de la partícula en función del ángulo que forma la barra $AB\,$ con el eje $OX\,$ , es decir, $\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)$ .
Para la ley horaria $\theta(t)=\Omega\, t$ (donde $\,\Omega\,$ es una constante positiva conocida, y $\,0\leq\theta(t)\leq\pi/2$ ), halle los vectores velocidad y aceleración de la partícula $P$ en función del tiempo.
Sólo para el instante en que $\,\theta=\pi/4\,$ , determine las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la partícula $P$ .

21 No Boletín - Rotación y traslación terrestres

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $ω$ constante. Encuentre en función de la latitud $λ$ , la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R = 6370\,\mathrm{km}$ )

Compare los módulos de los valores anteriores para el caso de un punto en el Ecuador, con los correspondientes al movimiento de traslación alrededor del Sol (distancia Tierra-Sol aproximadamente constante e igual a $d=0.15\,\mathrm{Tm}$ ).

@@ Línea 121: / Línea 121: @@
 ¿Cuál era la distancia <math>\,d\,\,</math> que separaba a ambos automóviles en el instante inicial si observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo?
+==[[No Boletín - Bólido con m.c.u. (Ex.Nov/12)]]==
+La gravedad media en la superficie terrestre (g = 9.80665 m/s<math>^2</math>) es utilizada a veces como unidad de aceleración. Sea un bólido que recorre con celeridad constante un circuito circular de diámetro igual a 1500 yardas (1 yd = 0.9144 m) y que tarda exactamente 1 minuto en completar cada vuelta. ¿Cuánto vale la aceleración (en módulo) de dicho bólido?
 ==[[No Boletín - Celeridad media a partir de celeridad instantánea (Ex.Nov/12)]]==