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Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→¡Ojo a la dirección de los vectores!)
(→Factores de escala)
Línea 25: Línea 25:
<center><math>h_\rho = 1</math></center>
<center><math>h_\rho = 1</math></center>
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* La coordenada <math>{\varphi}</math> es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en <math>\mathrm{d}{\varphi}</math> sobre una circunferencia de radio <math>\rho\,</math>, la
+
* La coordenada <math>{\varphi}</math> es, en cambio, es un [[¿Qué es un ángulo?|ángulo]]. Al variar la coordenada en <math>\mathrm{d}{\varphi}</math> sobre una circunferencia de radio <math>\rho\,</math>, la
distancia recorrida es <math>\rho\,\mathrm{d}{\varphi}</math> y el factor de escala es
distancia recorrida es <math>\rho\,\mathrm{d}{\varphi}</math> y el factor de escala es
<center><math>h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho</math></center>
<center><math>h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho</math></center>
-
\begin{Nota}
 
-
\textbf{¿Qué es un ángulo?}
 
-
 
-
Todos ``sabemos'' qué es un ángulo, pero no todos pueden dar una definición precisa.
 
-
 
-
Dados tres puntos $O$, $A$ y $B$, ¿cómo podemos definir el ángulo
 
-
$\widehat{AOB}$? Lo primero, trazamos las semirrectas $OA$ y $OB$. A
 
-
continuación trazamos una circunferencia de radio $R$ centrada en $O$.
 
-
El valor de $R$ es arbitrario. El arco de circunferencia comprendido
 
-
entre las dos semirrectas mide una distancia $L$. Se define el ángulo
 
-
de apertura $\alpha$ (en radianes) como el cociente
 
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\[
 
-
\alpha = \frac{L}{R}
 
-
\]
 
-
Esta cantidad es independiente del radio elegido $R$. Si duplicamos el
 
-
radio, duplicamos el arco y el cociente permanece constante.
 
-
 
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De esta definición es inmediata la manera de calcular el arco recorrido
 
-
\[
 
-
L = \alpha R
 
-
\]
 
-
\end{Nota}
 

Revisión de 18:51 20 nov 2007

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

2 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


2.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

\begin{center} \includegr{dependen.eps} \end{center}

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5 Artículos relacionados

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