Coordenadas cilíndricas. Base vectorial
De Laplace
(→Base vectorial) |
(→Base ortonormal dextrógira) |
||
| (4 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
| Línea 16: | Línea 16: | ||
==Base ortonormal dextrógira== | ==Base ortonormal dextrógira== | ||
| - | Los vectores de la base cilíndrica forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si las coordenadas se ordenan en la forma ''' <math>(\rho,\varphi,z)</math>. Los productos escalares vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar | + | Los vectores de la base cilíndrica forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si las coordenadas se ordenan en la forma ''' <math>(\rho,\varphi,z)</math>. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar |
| - | [[Imagen: | + | [[Imagen:cil-mano.png|right]]<center> |
{| class="bordeado" | {| class="bordeado" | ||
|- | |- | ||
| Línea 46: | Línea 46: | ||
|- | |- | ||
! <math>\times\,</math> | ! <math>\times\,</math> | ||
| - | ! <math>\mathbf{u} | + | ! <math>\mathbf{u}_\rho</math> |
| - | ! <math>\mathbf{u} | + | ! <math>\mathbf{u}_\varphi</math> |
! <math>\mathbf{u}_z</math> | ! <math>\mathbf{u}_z</math> | ||
|- | |- | ||
| - | ! <math>\mathbf{u} | + | ! <math>\mathbf{u}_\rho</math> |
| '''0''' | | '''0''' | ||
| <math>\mathbf{u}_z</math> | | <math>\mathbf{u}_z</math> | ||
| - | | <math>-\mathbf{u} | + | | <math>-\mathbf{u}_\varphi</math> |
|- | |- | ||
| - | ! <math>\mathbf{u} | + | ! <math>\mathbf{u}_\varphi</math> |
| <math>-\mathbf{u}_z</math> | | <math>-\mathbf{u}_z</math> | ||
| '''0''' | | '''0''' | ||
| - | | <math>\mathbf{u} | + | | <math>\mathbf{u}_\rho</math> |
|- | |- | ||
! <math>\mathbf{u}_z</math> | ! <math>\mathbf{u}_z</math> | ||
| - | | <math>\mathbf{u} | + | | <math>\mathbf{u}_\varphi</math> |
| - | | <math>-\mathbf{u} | + | | <math>-\mathbf{u}_\rho</math> |
| '''0''' | | '''0''' | ||
|} | |} | ||
| Línea 100: | Línea 100: | ||
*[[Coordenadas cilíndricas. Líneas y superficies coordenadas]] | *[[Coordenadas cilíndricas. Líneas y superficies coordenadas]] | ||
| - | [[Categoría: | + | [[Categoría: Bases vectoriales|30]] |
| + | [[Categoría:Coordenadas cilíndricas|30]] | ||
última version al 17:18 13 abr 2010
Contenido |
1 Base vectorial
Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.
- Antes de eso, recordamos que la coordenada
es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
- Para
y 
consideramos un triángulo rectángulo en
el plano horizontal que pasa por 
. Al aumentar la coordenada 
nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que
- El vector es tangente a la circunferencia que pasa por , y por tanto perpendicular a la hipotenusa
2 Base ortonormal dextrógira
Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma 
. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
| · | 
| 
| 
|
|---|---|---|---|
|
| 1 | 0 | 0 |
|
| 0 | 1 | 0 |
|
| 0 | 0 | 1 |
|
|
|
|
|---|---|---|---|
|
| 0 |
| 
|
|
| 
| 0 |
|
|
|
| 
| 0 |
3 Factores de escala
- El factor de escala de la coordenada es el mismo que en cartesianas
- La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad
equivale a recorrer una distancia 
y
- La coordenada
es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en 
sobre una circunferencia de radio , la
distancia recorrida es 
y el factor de escala es
3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!
Los vectores 
y son funciones de la coordenada
. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje 
, el
vector en el primer punto es exactamente el opuesto que en
el otro, esto es, que "" no significa siempre lo mismo, ya
que
