Problemas de fundamentos matemáticos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 10:28 16 nov 2009

Contenido

1 Campos escalares en diferentes sistemas
2 Campos vectoriales en diferentes sistemas
3 Operaciones con vectores en diferentes sistemas
4 Trazado de superficies equiescalares
5 Cálculo de gradientes
6 Regla de la cadena para gradientes
7 Integral sobre una superficie esférica
8 Cálculo de divergencias y rotacionales
9 Cálculo de flujo
10 Cálculo de circulación
11 Algunas identidades vectoriales
12 Propiedades de la Delta de Dirac
13 Cálculo de laplacianos
14 Cálculo de laplaciano vectorial
15 Vector superficie
16 Campo de velocidades de un vórtice
17 Análisis de expresiones diferenciales
18 Análisis de diferentes campos

1 Campos escalares en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$
$\phi = (z\cos\varphi)/\rho$
$\phi = \,\mathrm{cotg}\,\theta - \,\mathrm{tg}\,\theta\,$

Solución

2 Campos vectoriales en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

$\mathbf{A} = \mathbf{r}\,$
$\mathbf{B} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y}$
$\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}$
$\mathbf{E} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$

Solución

3 Operaciones con vectores en diferentes sistemas

Dados los vectores

$\mathbf{A} = \mathbf{u}_{\rho}-\mathbf{u}_{z}$ $\mathbf{B} = 5\mathbf{u}_{r}+12\mathbf{u}_{\theta}$

evaluados en el punto de coordenadas cartesianas $x = 3$ , $y = 4$ , $z = 12$ , calcule

$\mathbf{A}+\mathbf{B}\,$
$\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{B}\,$
$\mathbf{A}\times\mathbf{B}\,$

Solución

4 Trazado de superficies equiescalares

Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

$\phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}\,$
$\phi=r^2\,$
$\phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}+r^2\,$
$\phi= r^2/(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r})$
$\phi = x^2 + y^2\,$
$\phi = \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$
$\phi= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

donde $\mathbf{A}$ es un vector constante y $\mathbf{r}$ es el vector de posición.

5 Cálculo de gradientes

Para los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

6 Regla de la cadena para gradientes

Si $\phi = \phi(u)\,$ , con $u = u(\mathbf{r})$ , demuestre que

$\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u$

Encuentre $\nabla \phi$ si

$\phi=\ln|\mathbf{r}|\,$
$\phi =r^n\,$
$\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}$

Solución

7 Integral sobre una superficie esférica

Halle el valor de la integral

$\oint \mathbf{A} \mathrm{d}S$

con

$\mathbf{A}=\cot\theta\mathbf{u}_{r}-\mathbf{u}_{\theta}$

y la superficie de integración una esfera de radio $R$ centrada en el origen.

Solución

8 Cálculo de divergencias y rotacionales

Para los campos vectoriales

$\mathbf{A} = \mathbf{r}\,$
$\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,$
$\mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,$
$\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}$

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

9 Cálculo de flujo

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

Un cubo de arista $a$ , con un vértice en el origen y aristas $a\mathbf{u}_{x}$ , $a\mathbf{u}_{y}$ y $a\mathbf{u}_{z}$ .
Un cilindro circular de altura $h$ y radio $R$ , con el eje $Z$ como eje y sus bases situadas en $z = 0$ y $z = h$ .
Una esfera de radio $R$ en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

Solución

10 Cálculo de circulación

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

Un cuadrado de lado $2 a$ , con vértices $\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}$ , siendo $+\mathbf{u}_z$ el vector normal al cuadrado apoyado en el polígono.
Una circunferencia de radio $R$ situada en el plano $z = 0$ y con centro el origen de coordenadas, siendo $+\mathbf{u}_z$ el vector normal al círculo limitado por la circunferencia.
Una circunferencia vertical, situada en el plano $x = y$ y con centro el origen de coordenadas, siendo $\mathbf{n}=\left(-\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)/\sqrt{2}$ el vector normal al círculo delimitado por la curva.

En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

Solución

11 Algunas identidades vectoriales

Demuestre que si $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $\mathbf{B}$ un campo vectorial arbitrario

$(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}$
$(\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0$
$(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}$

Igualmente, para el caso particular en que $\mathbf{B}$ represente un vector constante, demuestre que

$\nabla(\mathbf{B}{\cdot}\mathbf{r})=\mathbf{B}$
$\nabla{\cdot}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=0$
$\nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=2\mathbf{B}$

Solución

12 Propiedades de la Delta de Dirac

Se define la función delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribución que verifica

$\delta(\mathbf{r})=0$ $(\mathbf{r}\neq 0)$ $\int \delta(\mathbf{r})\,\mathrm{d}\tau=1$

con la última integral extendida a todo el espacio.

Pruebe que:

$\nabla{\cdot}\left(\displaystyle\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right)=4\pi\delta(\mathbf{r})$
$\nabla^2\left(\displaystyle\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\right)= -4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$

13 Cálculo de laplacianos

Calcule el laplaciano de los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$
$\phi = \rho^3\cos\varphi$
$\phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta$

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Solución

14 Cálculo de laplaciano vectorial

Halle el laplaciano del campo vectorial

$\mathbf{A}=r^n\mathbf{r}\,$

Solución

15 Vector superficie

Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, $Γ$ , del plano $X Y$ , se cumple que

$\left|\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| = S$

donde $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $S$ el área encerrada por $Γ$ .

A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

$\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}= \mathbf{S}$

donde $\mathbf{S}$ es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

A partir del resultado anterior calcule el valor de $\mathbf{S}$ para una curva formada por tres cuartos de circunferencia, que van respectivamente del punto $R\mathbf{u}_z$ al $R\mathbf{u}_x$ , de este a $R\mathbf{u}_y$ , y de este de nuevo a $R\mathbf{u}_z$ .

Solución

16 Campo de velocidades de un vórtice

El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresión, en cilíndricas,

$\mathbf{v}= \frac{C}{\rho}\mathbf{u}_{\varphi}$

Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que está definido.
Halle un potencial escalar del que derive este campo.
¿Cuanto vale la circulación del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en torno al eje $z$ ? ¿Qué consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

17 Análisis de expresiones diferenciales

De las siguientes expresiones

$\nabla(\nabla{\cdot}\phi)$
$\nabla\times(\nabla\phi)$
$\nabla{\cdot}(\nabla{\cdot}\phi)$
$\nabla\times(\nabla\times\phi)$
$\nabla{\cdot}(\nabla\times\mathbf{A})$
$\nabla\times(\nabla{\cdot}\mathbf{A})$
$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})$
$\nabla{\cdot}(\nabla{\cdot}\mathbf{A})$
$\nabla{\cdot}(\nabla\phi)$
$\nabla(\nabla{\cdot}\mathbf{A})$
$(\nabla{\cdot}\nabla)\mathbf{A}$
$(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\phi$
$(\phi\nabla){\cdot}\mathbf{A}$
$(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\times\mathbf{A}$
$(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}$
$(\mathbf{A}\times\nabla)\times\mathbf{A}$

(donde $\phi\,$ es un cierto campo escalar y $\mathbf{A}$ uno vectorial) indique cuáles son absurdas. De las que tienen sentido, señale las que son idénticamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valor para los campos

$\phi=xyz\,$ $\mathbf{A}=x^2\mathbf{u}_{x}+xz\mathbf{u}_{y}-xy\mathbf{u}_{z}$

18 Análisis de diferentes campos

De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuáles son irrotacionales y cuáles armónicos

$\mathbf{A} = yz \mathbf{u}_{x} + xz \mathbf{u}_{y} + xy \mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{B} = \rho\mathbf{u}_{\varphi}$
$\mathbf{C} = r\mathbf{u}_{r}-\rho\mathbf{u}_{\rho}$
$D = 2r^2-3\rho^2\,$
$E= z/\cos\theta\,$
$\mathbf{F} = r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}+y\mathbf{u}_{x}-\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-==[[Campos escalares en diferentes sistemas]]==
+=={{nivel|1}} [[Campos escalares en diferentes sistemas]]==
 Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 # <math>\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,</math>
 # <math>\phi = (z\cos\varphi)/\rho</math>
-# <math>\phi = \cot\theta - \tan\theta\,</math>
+# <math>\phi = \,\mathrm{cotg}\,\theta - \,\mathrm{tg}\,\theta\,</math>
 [[Campos escalares en diferentes sistemas|'''Solución''']]
-==[[Campos vectoriales en diferentes sistemas]]==
+=={{nivel|2}} [[Campos vectoriales en diferentes sistemas]]==
 Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:
@@ Línea 16: / Línea 16: @@
 # <math>\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}</math>
 # <math>\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}</math>
+# <math>\mathbf{E} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,</math>
-==[[Operaciones con vectores en diferentes sistemas]]==
+[[Campos vectoriales en diferentes sistemas|'''Solución''']]
+=={{nivel|1}} [[Operaciones con vectores en diferentes sistemas]]==
 Dados los vectores
@@ Línea 31: / Línea 34: @@
 [[Operaciones con vectores en diferentes sistemas|'''Solución''']]
-==[[Trazado de superficies equiescalares]]==
+=={{nivel|1}} [[Trazado de superficies equiescalares]]==
 Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares
@@ Línea 44: / Línea 47: @@
 donde <math>\mathbf{A}</math> es un vector constante y <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición.
-==[[Cálculo de gradientes]]==
+=={{nivel|2}} [[Cálculo de gradientes]]==
 Para los campos escalares
@@ Línea 52: / Línea 55: @@
 calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
-[[Cálculo de gradientes|'''Solución''']]
+=={{nivel|2}} [[Regla de la cadena para gradientes]]==
-==[[Regla de la cadena para gradientes]]==
 Si <math>\phi = \phi(u)\,</math>, con <math>u = u(\mathbf{r})</math>, demuestre que
@@ Línea 65: / Línea 66: @@
 # <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>
-==[[Integral sobre una superficie esférica]]==
+[[Regla de la cadena para gradientes|'''Solución''']]
+=={{nivel|3}} [[Integral sobre una superficie esférica]]==
 Halle el valor de la integral
@@ Línea 76: / Línea 79: @@
 y la superficie de integración una esfera de radio <math>R</math> centrada en el origen.
-==[[Cálculo de divergencias y rotacionales]]==
+[[Integral sobre una superficie esférica|'''Solución''']]
+=={{nivel|2}} [[Cálculo de divergencias y rotacionales]]==
 Para los campos vectoriales
@@ Línea 87: / Línea 92: @@
 irrotacionales y cuáles solenoidales?
-[[Cálculo de divergencias y rotacionales|'''Solución''']]
+=={{nivel|2}} [[Cálculo de flujo]]==
-==[[Cálculo de flujo]]==
 Para el campo vectorial
@@ Línea 102: / Línea 105: @@
 En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.
-==[[Cálculo de circulación]]==
+[[Cálculo de flujo|'''Solución''']]
+=={{nivel|2}} [[Cálculo de circulación]]==
 Para el campo vectorial
@@ Línea 109: / Línea 114: @@
 calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:
-# Un cuadrado de lado <math>2a</math>, con vértices <math>\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}</math>.
+# Un cuadrado de lado <math>2a</math>, con vértices <math>\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}</math>, siendo <math>+\mathbf{u}_z</math> el vector normal al cuadrado apoyado en el polígono.
-# Una circunferencia de radio <math>R</math> situada en el plano <math>z=0</math> y con centro el origen de coordenadas.
+# Una circunferencia de radio <math>R</math> situada en el plano <math>z=0</math> y con centro el origen de coordenadas, siendo <math>+\mathbf{u}_z</math> el vector normal al círculo limitado por la circunferencia.
-# Una circunferencia vertical, situada en el plano <math>x=y</math> y con centro el origen de coordenadas.
+# Una circunferencia vertical, situada en el plano <math>x=y</math> y con centro el origen de coordenadas, siendo <math>\mathbf{n}=\left(-\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)/\sqrt{2}</math> el vector normal al círculo delimitado por la curva.
 En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.
-==[[Demostración de identidades vectoriales]]==
+[[Cálculo de circulación|'''Solución''']]
+=={{nivel|3}} [[Algunas identidades vectoriales]]==
 Demuestre que si <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición y <math>\mathbf{B}</math> un campo vectorial arbitrario
@@ Línea 122: / Línea 129: @@
 # <math>(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}</math>
-Igualmente, para el caso particular en que $\mathbf{B}$ represente un vector constante, demuestre que
+Igualmente, para el caso particular en que <math>\mathbf{B}</math> represente un vector constante, demuestre que
 <ol start="4">
@@ Línea 130: / Línea 137: @@
 </ol>
-==[[Propiedades de la Delta de Dirac]]==
+[[Algunas identidades vectoriales|'''Solución''']]
+=={{nivel|3}} [[Propiedades de la Delta de Dirac]]==
 Se define la ''función'' delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribución que verifica
@@ Línea 142: / Línea 151: @@
 # <math>\nabla^2\left(\displaystyle\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\right)= -4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)</math>
-==[[Cálculo de laplacianos]]==
+=={{nivel|2}} [[Cálculo de laplacianos]]==
 Calcule el laplaciano de los campos escalares
@@ Línea 154: / Línea 163: @@
 [[Cálculo de laplacianos|'''Solución''']]
-==[[Cálculo de laplaciano vectorial]]==
+=={{nivel|3}} [[Cálculo de laplaciano vectorial]]==
 Halle el laplaciano del campo vectorial
 <center><math>\mathbf{A}=r^n\mathbf{r}\,</math></center>
-==[[Vector superficie]]==
+[[Cálculo de laplaciano vectorial|'''Solución''']]
+=={{nivel|4}} [[Vector superficie]]==
 Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, <math>\Gamma</math>, del plano <math>XY</math>, se cumple que
-<center><math>\left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times d\mathbf{r}\,\right| = 2 S</math></center>
+<center><math>\left|\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| =  S</math></center>
 donde <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición y <math>S</math> el área encerrada por <math>\Gamma</math>.
@@ Línea 168: / Línea 179: @@
 A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio
-<center><math>\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times d\mathbf{r}= \mathbf{S}</math></center>
+<center><math>\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}= \mathbf{S}</math></center>
 donde <math>\mathbf{S}</math> es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos
 coordenados.
+A partir del resultado anterior calcule el valor de <math>\mathbf{S}</math> para una curva formada por tres cuartos de circunferencia, que van respectivamente del punto <math>R\mathbf{u}_z</math> al <math>R\mathbf{u}_x</math>, de este a <math>R\mathbf{u}_y</math>, y de este de nuevo a <math>R\mathbf{u}_z</math>.
+[[Vector superficie|'''Solución''']]
-==[[Campo de velocidades de un vórtice]]==
+=={{nivel|3}} [[Campo de velocidades de un vórtice]]==
 El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresión, en cilíndricas,
@@ Línea 184: / Línea 197: @@
 # ¿Cuanto vale la circulación del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en torno al eje <math>z</math>? ¿Qué consecuencias tiene esto para el potencial escalar?
-==[[Análisis de expresiones diferenciales]]==
+=={{nivel|3}} [[Análisis de expresiones diferenciales]]==
 De las siguientes expresiones
@@ Línea 208: / Línea 221: @@
 <center><math>\phi=xyz\,</math>{{qquad}}<math>\mathbf{A}=x^2\mathbf{u}_{x}+xz\mathbf{u}_{y}-xy\mathbf{u}_{z}</math></center>
-==[[Análisis de diferentes campos]]==
+=={{nivel|3}} [[Análisis de diferentes campos]]==
 De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuáles son irrotacionales y cuáles armónicos
@@ Línea 218: / Línea 231: @@
 #<math>\mathbf{F} = r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}+y\mathbf{u}_{x}-\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}</math>
-[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]
+[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos|0]]
+[[Categoría:Fundamentos matemáticos]]
+[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos|10]]

Problemas de fundamentos matemáticos

De Laplace

última version al 10:28 16 nov 2009

Contenido

1 Campos escalares en diferentes sistemas

2 Campos vectoriales en diferentes sistemas

3 Operaciones con vectores en diferentes sistemas

4 Trazado de superficies equiescalares

5 Cálculo de gradientes

6 Regla de la cadena para gradientes

7 Integral sobre una superficie esférica

8 Cálculo de divergencias y rotacionales

9 Cálculo de flujo

10 Cálculo de circulación

11 Algunas identidades vectoriales

12 Propiedades de la Delta de Dirac

13 Cálculo de laplacianos

14 Cálculo de laplaciano vectorial

15 Vector superficie

16 Campo de velocidades de un vórtice

17 Análisis de expresiones diferenciales

18 Análisis de diferentes campos

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