Problemas de fundamentos matemáticos

De Laplace

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-	==[[Campos escalares en diferentes sistemas]]==	+	=={{nivel|1}} [[Campos escalares en diferentes sistemas]]==
	Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas		Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
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	# <math>\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,</math>		# <math>\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,</math>
	# <math>\phi = (z\cos\varphi)/\rho</math>		# <math>\phi = (z\cos\varphi)/\rho</math>
-	# <math>\phi = \cot\theta - \tan\theta\,</math>	+	# <math>\phi = \,\mathrm{cotg}\,\theta - \,\mathrm{tg}\,\theta\,</math>
-	==[[Campos vectoriales en diferentes sistemas]]==	+	[[Campos escalares en diferentes sistemas|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|2}} [[Campos vectoriales en diferentes sistemas]]==
	Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:		Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:
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	# <math>\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}</math>		# <math>\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}</math>
	# <math>\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}</math>		# <math>\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}</math>
		+	# <math>\mathbf{E} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,</math>
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		+	[[Campos vectoriales en diferentes sistemas|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|1}} [[Operaciones con vectores en diferentes sistemas]]==
		+	Dados los vectores
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		+	<center><math>\mathbf{A} = \mathbf{u}_{\rho}-\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}
		+	<math>\mathbf{B} = 5\mathbf{u}_{r}+12\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
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		+	evaluados en el punto de coordenadas cartesianas <math>x=3</math>, <math>y=4</math>, <math>z=12</math>, calcule
		+
		+	# <math>\mathbf{A}+\mathbf{B}\,</math>
		+	#<math>\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{B}\,</math>
		+	#<math>\mathbf{A}\times\mathbf{B}\,</math>
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		+	[[Operaciones con vectores en diferentes sistemas|'''Solución''']]
-	==[[Trazado de superficies equiescalares]]==	+	=={{nivel|1}} [[Trazado de superficies equiescalares]]==
	Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares		Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares
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	donde <math>\mathbf{A}</math> es un vector constante y <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición.		donde <math>\mathbf{A}</math> es un vector constante y <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición.
-	==[[Cálculo de gradientes]]==	+	=={{nivel|2}} [[Cálculo de gradientes]]==
	Para los campos escalares		Para los campos escalares
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	calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.		calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
-	==[[Regla de la cadena para gradientes]]==	+	=={{nivel|2}} [[Regla de la cadena para gradientes]]==
	Si <math>\phi = \phi(u)\,</math>, con <math>u = u(\mathbf{r})</math>, demuestre que		Si <math>\phi = \phi(u)\,</math>, con <math>u = u(\mathbf{r})</math>, demuestre que
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	# <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>		# <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>
-	==[[Integral sobre una superficie esférica]]==	+	[[Regla de la cadena para gradientes|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|3}} [[Integral sobre una superficie esférica]]==
	Halle el valor de la integral		Halle el valor de la integral
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	y la superficie de integración una esfera de radio <math>R</math> centrada en el origen.		y la superficie de integración una esfera de radio <math>R</math> centrada en el origen.
-	==[[Cálculo de divergencias y rotacionales]]==	+	[[Integral sobre una superficie esférica|'''Solución''']]
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	Para los campos vectoriales		Para los campos vectoriales
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	#<math>\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,</math>		#<math>\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,</math>
	#<math>\mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,</math>		#<math>\mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,</math>
-	#<math>\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathop{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}</math>$	+	#<math>\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}</math>
	calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son		calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son
	irrotacionales y cuáles solenoidales?		irrotacionales y cuáles solenoidales?
-	==[[Cálculo de flujo]]==	+	=={{nivel|2}} [[Cálculo de flujo]]==
	Para el campo vectorial		Para el campo vectorial
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	En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.		En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.
-	==[[Cálculo de circulación]]==	+	[[Cálculo de flujo|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|2}} [[Cálculo de circulación]]==
	Para el campo vectorial		Para el campo vectorial
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	calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:		calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:
-	# Un cuadrado de lado <math>2a</math>, con vértices <math>\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}</math>.	+	# Un cuadrado de lado <math>2a</math>, con vértices <math>\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}</math>, siendo <math>+\mathbf{u}_z</math> el vector normal al cuadrado apoyado en el polígono.
-	# Una circunferencia de radio <math>R</math> situada en el plano <math>z=0</math> y con centro el origen de coordenadas.	+	# Una circunferencia de radio <math>R</math> situada en el plano <math>z=0</math> y con centro el origen de coordenadas, siendo <math>+\mathbf{u}_z</math> el vector normal al círculo limitado por la circunferencia.
-	# Una circunferencia vertical, situada en el plano <math>x=y</math> y con centro el origen de coordenadas.	+	# Una circunferencia vertical, situada en el plano <math>x=y</math> y con centro el origen de coordenadas, siendo <math>\mathbf{n}=\left(-\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)/\sqrt{2}</math> el vector normal al círculo delimitado por la curva.
	En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.		En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.
-	[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]	+	[[Cálculo de circulación|'''Solución''']]
		+
		+	=={{nivel|3}} [[Algunas identidades vectoriales]]==
		+	Demuestre que si <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición y <math>\mathbf{B}</math> un campo vectorial arbitrario
		+
		+	# <math>(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}</math>
		+	# <math>(\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0</math>
		+	# <math>(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}</math>
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		+	Igualmente, para el caso particular en que <math>\mathbf{B}</math> represente un vector constante, demuestre que
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		+	<ol start="4">
		+	<li><math>\nabla(\mathbf{B}{\cdot}\mathbf{r})=\mathbf{B}</math></li>
		+	<li><math>\nabla{\cdot}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=0</math></li>
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		+	</ol>
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		+	[[Algunas identidades vectoriales|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|3}} [[Propiedades de la Delta de Dirac]]==
		+	Se define la ''función'' delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribución que verifica
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		+	<center><math>\delta(\mathbf{r})=0</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\neq 0)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\int \delta(\mathbf{r})\,\mathrm{d}\tau=1</math></center>
		+
		+	con la última integral extendida a todo el espacio.
		+
		+	Pruebe que:
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		+	# <math>\nabla{\cdot}\left(\displaystyle\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right)=4\pi\delta(\mathbf{r})</math>
		+	# <math>\nabla^2\left(\displaystyle\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\right)= -4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)</math>
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		+	=={{nivel|2}} [[Cálculo de laplacianos]]==
		+	Calcule el laplaciano de los campos escalares
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		+	# <math>\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,</math>
		+	# <math>\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,</math>
		+	# <math>\phi = \rho^3\cos\varphi</math>
		+	# <math>\phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta</math>
		+
		+	empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
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		+	[[Cálculo de laplacianos|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|3}} [[Cálculo de laplaciano vectorial]]==
		+	Halle el laplaciano del campo vectorial
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		+	<center><math>\mathbf{A}=r^n\mathbf{r}\,</math></center>
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		+	[[Cálculo de laplaciano vectorial|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|4}} [[Vector superficie]]==
		+	Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, <math>\Gamma</math>, del plano <math>XY</math>, se cumple que
		+
		+	<center><math>\left|\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| =  S</math></center>
		+
		+	donde <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición y <math>S</math> el área encerrada por <math>\Gamma</math>.
		+
		+	A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio
		+
		+	<center><math>\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}= \mathbf{S}</math></center>
		+
		+	donde <math>\mathbf{S}</math> es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos
		+	coordenados.
		+
		+	A partir del resultado anterior calcule el valor de <math>\mathbf{S}</math> para una curva formada por tres cuartos de circunferencia, que van respectivamente del punto <math>R\mathbf{u}_z</math> al <math>R\mathbf{u}_x</math>, de este a <math>R\mathbf{u}_y</math>, y de este de nuevo a <math>R\mathbf{u}_z</math>.
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		+	[[Vector superficie|'''Solución''']]
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		+	=={{nivel|3}} [[Campo de velocidades de un vórtice]]==
		+	El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresión, en cilíndricas,
		+
		+	<center><math>\mathbf{v}= \frac{C}{\rho}\mathbf{u}_{\varphi}</math></center>
		+
		+	# Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que está definido.
		+	# Halle un potencial escalar del que derive este campo.
		+	# ¿Cuanto vale la circulación del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en torno al eje <math>z</math>? ¿Qué consecuencias tiene esto para el potencial escalar?
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		+	=={{nivel|3}} [[Análisis de expresiones diferenciales]]==
		+	De las siguientes expresiones
		+
		+	# <math>\nabla(\nabla{\cdot}\phi)</math>
		+	# <math>\nabla\times(\nabla\phi)</math>
		+	# <math>\nabla{\cdot}(\nabla{\cdot}\phi)</math>
		+	# <math>\nabla\times(\nabla\times\phi)</math>
		+	# <math>\nabla{\cdot}(\nabla\times\mathbf{A})</math>
		+	# <math>\nabla\times(\nabla{\cdot}\mathbf{A})</math>
		+	# <math>\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})</math>
		+	# <math>\nabla{\cdot}(\nabla{\cdot}\mathbf{A})</math>
		+	# <math>\nabla{\cdot}(\nabla\phi)</math>
		+	# <math>\nabla(\nabla{\cdot}\mathbf{A})</math>
		+	#<math>(\nabla{\cdot}\nabla)\mathbf{A}</math>
		+	#<math>(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\phi</math>
		+	#<math>(\phi\nabla){\cdot}\mathbf{A}</math>
		+	#<math>(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\times\mathbf{A}</math>
		+	#<math>(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}</math>
		+	#<math>(\mathbf{A}\times\nabla)\times\mathbf{A}</math>
		+
		+	(donde <math>\phi\,</math> es un cierto campo escalar y <math>\mathbf{A}</math> uno vectorial) indique cuáles son absurdas. De las que tienen sentido, señale las que son idénticamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valor para los campos
		+
		+	<center><math>\phi=xyz\,</math>{{qquad}}<math>\mathbf{A}=x^2\mathbf{u}_{x}+xz\mathbf{u}_{y}-xy\mathbf{u}_{z}</math></center>
		+
		+	=={{nivel|3}} [[Análisis de diferentes campos]]==
		+	De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuáles son irrotacionales y cuáles armónicos
		+
		+	# <math>\mathbf{A} = yz \mathbf{u}_{x} + xz \mathbf{u}_{y} + xy \mathbf{u}_{z}</math>
		+	# <math>\mathbf{B} = \rho\mathbf{u}_{\varphi}</math>
		+	#<math>\mathbf{C} = r\mathbf{u}_{r}-\rho\mathbf{u}_{\rho}</math>
		+	#<math>D = 2r^2-3\rho^2\,</math>
		+	#<math>E= z/\cos\theta\,</math>
		+	#<math>\mathbf{F} = r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}+y\mathbf{u}_{x}-\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}</math>
		+
		+	[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos|0]]
		+	[[Categoría:Fundamentos matemáticos]]
		+	[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos|10]]

---

última version al 10:28 16 nov 2009

Contenido 1 Campos escalares en diferentes sistemas 2 Campos vectoriales en diferentes sistemas 3 Operaciones con vectores en diferentes sistemas 4 Trazado de superficies equiescalares 5 Cálculo de gradientes 6 Regla de la cadena para gradientes 7 Integral sobre una superficie esférica 8 Cálculo de divergencias y rotacionales 9 Cálculo de flujo 10 Cálculo de circulación 11 Algunas identidades vectoriales 12 Propiedades de la Delta de Dirac 13 Cálculo de laplacianos 14 Cálculo de laplaciano vectorial 15 Vector superficie 16 Campo de velocidades de un vórtice 17 Análisis de expresiones diferenciales 18 Análisis de diferentes campos

1 Campos escalares en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

1. 
2. 
3. 
4. 

Solución

2 Campos vectoriales en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Solución

3 Operaciones con vectores en diferentes sistemas

Dados los vectores

    

evaluados en el punto de coordenadas cartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule

1. 
2. 
3. 

Solución

4 Trazado de superficies equiescalares

Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

donde es un vector constante y es el vector de posición.

5 Cálculo de gradientes

Para los campos escalares

1. 
2. 

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

6 Regla de la cadena para gradientes

Si , con , demuestre que

Encuentre si

1. 
2. 
3. 

Solución

7 Integral sobre una superficie esférica

Halle el valor de la integral

con

y la superficie de integración una esfera de radio R centrada en el origen.

Solución

8 Cálculo de divergencias y rotacionales

Para los campos vectoriales

1. 
2. 
3. 
4. 

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

9 Cálculo de flujo

Para el campo vectorial

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

1. Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas , y .
2. Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.
3. Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

Solución

10 Cálculo de circulación

Para el campo vectorial

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

1. Un cuadrado de lado 2a, con vértices , siendo el vector normal al cuadrado apoyado en el polígono.
2. Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas, siendo el vector normal al círculo limitado por la circunferencia.
3. Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas, siendo el vector normal al círculo delimitado por la curva.

En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

Solución

11 Algunas identidades vectoriales

Demuestre que si es el vector de posición y un campo vectorial arbitrario

1. 
2. 
3. 

Igualmente, para el caso particular en que represente un vector constante, demuestre que

4. 
5. 
6. 

Solución

12 Propiedades de la Delta de Dirac

Se define la función delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribución que verifica

            

con la última integral extendida a todo el espacio.

Pruebe que:

1. 
2. 

13 Cálculo de laplacianos

Calcule el laplaciano de los campos escalares

1. 
2. 
3. 
4. 

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Solución

14 Cálculo de laplaciano vectorial

Halle el laplaciano del campo vectorial

Solución

15 Vector superficie

Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que

donde es el vector de posición y S el área encerrada por Γ.

A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

donde es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

A partir del resultado anterior calcule el valor de para una curva formada por tres cuartos de circunferencia, que van respectivamente del punto al , de este a , y de este de nuevo a .

Solución

16 Campo de velocidades de un vórtice

El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresión, en cilíndricas,

1. Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que está definido.
2. Halle un potencial escalar del que derive este campo.
3. ¿Cuanto vale la circulación del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en torno al eje z? ¿Qué consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

17 Análisis de expresiones diferenciales

De las siguientes expresiones

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 

(donde es un cierto campo escalar y uno vectorial) indique cuáles son absurdas. De las que tienen sentido, señale las que son idénticamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valor para los campos

    

18 Análisis de diferentes campos

De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuáles son irrotacionales y cuáles armónicos

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.