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Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Construcción de una base)
(→Construcción de una base)
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[[Construcción de una base (GIOI)|Solución]]
[[Construcción de una base (GIOI)|Solución]]
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==Ejemplo de operaciones con dos vectores==
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Dados los vectores
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<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>
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# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
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# ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
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# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.
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[[Ejemplo de operaciones con dos vectores|Solución]]

Revisión de 16:13 7 oct 2019

Contenido

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Archivo:diferencia-angulos.png

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}, tal que

  1. El primer vector, \vec{T}, vaya en la dirección y sentido de \vec{v}
  2. El segundo, \vec{N}, esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  3. El tercero, \vec{B}, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
\vec{F}=-12\vec{k}
¿Cuál es su expresión en la base \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}

Solución

5 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}
  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba \vec{a} como suma de dos vectores, uno paralelo a \vec{v} y otro ortogonal a él.

Solución

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_herramientas_matem%C3%A1ticas_(GIOI)"

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