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Problemas de vectores libres (GIC)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Vértices de un tetraedro)
(→Recta soporte de un vector deslizante)
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== [[Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.) | Recta soporte de un vector deslizante]]==
== [[Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.) | Recta soporte de un vector deslizante]]==
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Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor <math>\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - \vec{k}</math> y su momento respecto al origen de coordenadas es <math>\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.
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Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor <math>\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}</math> y su momento respecto al origen de coordenadas es <math>\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.
==[[ Derivada de un vector (G.I.C.)| Derivada de un vector]] ==
==[[ Derivada de un vector (G.I.C.)| Derivada de un vector]] ==

Revisión de 10:26 15 oct 2012

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Suma y diferencia de vectores

El vector \vec{a} tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0^{\circ} con el eje X, mientras que el vector \vec{b} tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

1.2 Componentes cartesianas de un vector

Calcula las componentes cartesianas de un vector \vec{a} con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo \gamma=22.6^{\circ} con el eje Z y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo \alpha=37.0^{\circ} con el eje + X. Calcula también los ángulos con los ejes X e Y.

1.3 Diagonales de un rombo

Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

1.4 Ángulo capaz de 90o

Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro \overline{AB} cualquiera, demuestra que las cuerdas \overline{PA} y \overline{PB} se cortan perpendicularmente,para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90o).

1.5 Producto vectorial de dos vectores

Calcula el producto vectorial de los vectores del problema 3, así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.

1.6 Teoremas del seno y del coseno

Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.


1.7 Producto mixto nulo

Dados los vectores \vec{A}, \vec{B} y \vec{C}, demuestra que la relación \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C})=0 se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

  1. Los tres vectores son colineales.
  2. Dos de los vectores son colineales.
  3. \vec{A}, \vec{B} y \vec{C} no son colineales pero sí coplanarios.


1.8 Volumen de un paralelepípedo

Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades medidas en metros).

1.9 Distancia de un punto a un plano

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a} = 2\vec{\imath} +3\vec{\jmath} + 6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector \vec{r}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+3\vec{k}. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

1.10 Distancia mínima entre dos rectas

Hallar la menor distancia entre las rectas Δ(A,B) y Γ(C,D), y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas A(1, − 2, − 1) y B(4,0, − 3), para el caso de Δ, y C(1,2, − 1) y D(2, − 4, − 5), para la recta Γ.

1.11 Condiciones sobre producto escalar y vectorial

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

  1. \vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}
  2. \vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}

siendo \vec{A} \neq 0, entonces \vec{B}= \vec{C}; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces \vec{B} \neq \vec{C}.

1.12 Recta soporte de un vector deslizante

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor \vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k} y su momento respecto al origen de coordenadas es \overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

1.13 Derivada de un vector

Un punto recorre una circunferencia de radio R, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo α con el eje OX.

  1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  3. Si el ángulo α depende del tiempo como α = ωt, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

1.14 Vectores formando un triángulo rectángulo

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

  1. \vec{a} = (-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{b} = (2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{c} = (-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
  2. \vec{a} = (3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{b} = (2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{c} = (5\,\vec{\imath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
  3. \vec{a} = (\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{b} = (-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{c} = (-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
  4. \vec{a} = (3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{b} = (\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad \vec{c} = (2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad

2 Otros problemas

2.1 Vértices de un tetraedro

Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

\begin{array}{lllll} \vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\overrightarrow{BO}\\ \vec{\omega}_4=\overrightarrow{OC} && \vec{\omega}_5=\overrightarrow{AC} && \vec{\omega}_6=\overrightarrow{BC} \end{array}

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

2.2 Volumen de un tetraedro

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres \vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k} y \vec{v}_2 = 4 \vec{k} (las coordenadas están en metros).

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_vectores_libres_(GIC)"

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