Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Base ortonormal dextrógira)
 
(6 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 14: Línea 14:
<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
 +
 +
==Base ortonormal dextrógira==
 +
Los vectores de la base cilíndrica forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si las coordenadas se ordenan en la forma ''' <math>(\rho,\varphi,z)</math>. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
 +
 +
[[Imagen:cil-mano.png|right]]<center>
 +
{| class="bordeado"
 +
|-
 +
! &middot;
 +
! <math>\mathbf{u}_\rho</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_\rho</math>
 +
| 1
 +
| 0
 +
| 0
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
| 0
 +
| 1
 +
| 0
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| 0
 +
| 0
 +
| 1
 +
|}
 +
 +
 +
{| class="bordeado"
 +
|-
 +
! <math>\times\,</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_\rho</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_\rho</math>
 +
| '''0'''
 +
| <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_z</math>
 +
| '''0'''
 +
| <math>\mathbf{u}_\rho</math>
 +
|-
 +
! <math>\mathbf{u}_z</math>
 +
| <math>\mathbf{u}_\varphi</math>
 +
| <math>-\mathbf{u}_\rho</math>
 +
| '''0'''
 +
|}
 +
</center>
==Factores de escala==
==Factores de escala==
Línea 48: Línea 100:
*[[Coordenadas cilíndricas. Líneas y superficies coordenadas]]
*[[Coordenadas cilíndricas. Líneas y superficies coordenadas]]
-
[[Categoría: Sistemas de coordenadas]]
+
[[Categoría: Bases vectoriales|30]]
 +
[[Categoría:Coordenadas cilíndricas|30]]

última version al 16:18 13 abr 2010

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma (\rho,\varphi,z). Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 1 0 0
\mathbf{u}_\varphi 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_\rho
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_\rho 0

3 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

4 Enlaces

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cil%C3%ADndricas._Base_vectorial"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Esta página fue modificada por última vez el 16:18, 13 abr 2010. - Esta página ha sido visitada 24.771 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace