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Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Ojo a la dirección de <math>{\Large \mathbf{u}_{\rho}}\,</math> y <math>{\Large \mathbf{u}_{{\varphi}}}</math>)
(→Base ortonormal dextrógira)
 
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<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
<center><math>\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}</math></center>
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==Base ortonormal dextrógira==
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Los vectores de la base cilíndrica forman una [[base ortonormal dextrógira]] '''si las coordenadas se ordenan en la forma ''' <math>(\rho,\varphi,z)</math>. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar
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==Factores de escala==
==Factores de escala==
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<center><math>h_\rho = 1</math></center>
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* La coordenada <math>{\varphi}</math> es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en <math>\mathrm{d}{\varphi}</math> sobre una circunferencia de radio <math>\rho\,</math>, la
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* La coordenada <math>{\varphi}</math> es, en cambio, es un [[¿Qué es un ángulo?|ángulo]]. Al variar la coordenada en <math>\mathrm{d}{\varphi}</math> sobre una circunferencia de radio <math>\rho\,</math>, la
distancia recorrida es <math>\rho\,\mathrm{d}{\varphi}</math> y el factor de escala es
distancia recorrida es <math>\rho\,\mathrm{d}{\varphi}</math> y el factor de escala es
<center><math>h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho</math></center>
<center><math>h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho</math></center>
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\begin{Nota}
 
-
\textbf{¿Qué es un ángulo?}
 
-
Todos ``sabemos'' qué es un ángulo, pero no todos pueden dar una definición precisa.
 
-
Dados tres puntos $O$, $A$ y $B$, ¿cómo podemos definir el ángulo
+
===¡Ojo a la dirección de los vectores!===
-
$\widehat{AOB}$? Lo primero, trazamos las semirrectas $OA$ y $OB$. A
+
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continuación trazamos una circunferencia de radio $R$ centrada en $O$.
+
-
El valor de $R$ es arbitrario. El arco de circunferencia comprendido
+
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entre las dos semirrectas mide una distancia $L$. Se define el ángulo
+
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de apertura $\alpha$ (en radianes) como el cociente
+
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\[
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\alpha = \frac{L}{R}
+
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\]
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-
Esta cantidad es independiente del radio elegido $R$. Si duplicamos el
+
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radio, duplicamos el arco y el cociente permanece constante.
+
-
 
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De esta definición es inmediata la manera de calcular el arco recorrido
+
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\[
+
-
L = \alpha R
+
-
\]
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\end{Nota}
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===Ojo a la dirección de <math>{\large \mathbf{u}_{\rho}}\,</math> y <math>{\Large \mathbf{u}_{{\varphi}}}</math>===
+
Los vectores <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> y <math>\mathbf{u}_{{\varphi}}</math> son funciones de la coordenada
Los vectores <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> y <math>\mathbf{u}_{{\varphi}}</math> son funciones de la coordenada
Línea 62: Línea 92:
que
que
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\begin{center}
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{{dependen}}
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\includegr{dependen.eps}
+
 
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\end{center}
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==Enlaces==
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* '''Siguiente:''' [[Coordenadas esféricas. Base vectorial]]
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* '''Anterior:''' [[Coordenadas cartesianas. Base vectorial]]
 +
*[[Coordenadas cilíndricas. Definición]]
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*[[Coordenadas cilíndricas. Líneas y superficies coordenadas]]
 +
 
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[[Categoría: Bases vectoriales|30]]
 +
[[Categoría:Coordenadas cilíndricas|30]]

última version al 17:18 13 abr 2010

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma (\rho,\varphi,z). Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 1 0 0
\mathbf{u}_\varphi 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_\rho
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_\rho 0

3 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

4 Enlaces

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