De Laplace

1 Problemas del boletín

1.1 Barra empujando placa deslizante

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa m, longitud ) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa m, lado l₀ = 2a) articulados entre sí en el punto B. Sobre el eje OX₁ se apoyan el extremo A de la barra y el lado BD del cuadrado. Todos los contactos son lisos. Sobre el extremo A se aplica una fuerza horizontal creciente (λ = t / T), donde T es una constante. Inicialmente (t = 0), el sistema está en reposo y A coincide con O.

1. Calcula la aceleración del sistema, los valores de las fuerzas vinculares y la posición de la fuerza normal en BD, todo ello en función del tiempo.
2. Calcula el instante en que el vértice B' empieza a despegar (condición de vuelco) y el trabajo realizado hasta ese instante por la fuerza .

1.2 Barra empujando placa con vértice fijo

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa m, longitud ) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa m, lado l₀ = 2a) articulados entre sí en el punto B. Sobre el eje OX₁ se apoyan el extremo A de la barra y el lado BD del cuadrado. Todos los contactos son lisos, salvo el apoyo del cuadrado, donde el coeficiente de rozamiento μ es tal que el deslizamiento es imposible. Sobre el extremo A se aplica una fuerza horizontal donde λ es un parámetro del problema. Inicialmente A coincide con O.

1. Obtén el sistema de ecuaciones que permite determinar la ecuación diferencial del movimiento y las fuerzas vinculares del problema.
2. Suponiendo λ = λ₀(cte.), demuestra que el trabajo de es conservativo, con una energía potencial V_F(x) = − F₀x, donde F₀ = 2λ₀mg. Obtén el movimiento del sistema en forma de integral primera, suponiendo reposo inicial.

1.3 Barra con centro deslizando sobre eje

Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa M y longitud 2L se mueve de modo que su centro se encuentra siempre sobre el eje OZ₁. La barra tiene dos grados de libertad de rotación. El sistema auxiliar OX₀Y₀Z₀ se define de modo que la barra esté siempre contenida en el plano OX₀Z₀. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. El contacto de la barra con el eje OZ₁ es liso.

1. Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
2. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
3. Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
4. Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
5. En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto O y los valores iniciales de las coordenadas angulares son θ(0) = π / 2 y φ(0) = 0. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión aplicada en el punto B. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

2 Otros problemas

2.1 Disco rodando sobre escuadra giratoria

Un disco (sólido "2") de masa M y radio R, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano OX₁Y₁ con velocidad angular constante ω₀.

1. Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco G.
2. Calcula el momento cinético del disco respecto a G y O, su energía cinética y su energía potencial.
3. Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
4. Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.

2.2 Disco deslizando por barra horizontal con muelle

El disco plano de la figura, (sólido "2", masa m, radio R) desliza sin rozamiento sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano OX₁Y₁, rota alrededor el eje OZ₀. Un muelle de constante elástica k y longitud natural R conecta el punto O con el centro del disco. En el instante inicial se tiene s(0) = 2R, , φ(0) = 0, , .

1. Determina la reducción cinemática del centro de masas del sólido "2" (punto G) en su movimiento absoluto, así como su derivada temporal.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética del disco, así como su momento cinético respecto a O.
3. Haz la desvinculación global del disco en su centro de masas. Indica cuantas incógnitas hay en el problema y que ecuaciones usarías para resolverlo (no hace falta escribir las ecuaciones)
4. Encuentra y escribe dos integrales primeras del movimiento.

2.3 Barra articulada sobre muelle

En el sistema de la figura, la barra delgada homogénea OA (sólido "2"), de masa m y longitud L, está articulada en el punto O. El punto O puede moverse sobre el eje fijo O₁Z₁, y está conectado a un muelle de constante elástica k y longitud natural L. El muelle siempre permanece vertical. La barra "2" está siempre contenida en el plano O₁X₀Z₀, como se indica en la figura.

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en los puntos O y G.
2. Calcula el momento cinético de la barra "2" en O y G (, ).
3. Calcula la energía cinética de la barra "2".
4. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. escribe las ecuaciones de movimiento del sistema.
5. Escribe todas las integrales primeras del movimiento que puedas encontrar.